中学 数学

多項式の乗法公式

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例題

次の計算をしなさい。

(1)(x+1)(x-3)
(2)(x+5)2
(3)(x-4)2
(4)(x+2)(x-2)

以前,多項式の乗法(展開)で,展開については一通り学習しました。今回は,乗法公式という,覚えてしまえば簡単に計算できる公式を学習します。

乗法公式

  1. (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
  2. (x+a)2=x2+2ax+a2
  3. (x-a)2=x2-2ax+a2
  4. (x+a)(x-a)=x2-a2

それぞれ展開していけばこの式になります。1~4それぞれの式について展開して,まとめていくと・・・

  1. (x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab
  2. (x+a)2=(x+a)(x+a)=x2+ax+ax+a2=x2+2ax+a2
  3. (x-a)2=(x-a)(x-a)=x2-ax-ax+a2
  4. (x+a)(x-a)=x2-ax+ax-a2=x2-a2

上記の乗法公式と同じ結果になるというわけで,実際に例題を解いていってみましょう。

解説・解法

例題(1)~(4)はそれぞれ乗法公式の1~4に対応していますので,代入してあてはめるだけでOKです。公式を覚えましょう。

(1)乗法公式1にa=1,b=-3を代入して,

(x+1)(x-3)
=x2+(1-3)x+1×(-3)
=x2-2x-3

(2)乗法公式ににa=5を代入して,

(x+5)2
=x2+2×5x+52
=x2+10x+25

(3)乗法公式3にa=4を代入して,

(x-4)2
=x2-2×4x+42
=x2-8x+16

(4)乗法公式4にa=2を代入して,

(x+2)(x-2)
=x2-22
=x2-4

答案

(1)(x+1)(x-3)
=x2-2x-3

(2)(x+5)2
=x2+2×5x+52
=x2+10x+25

(3)(x-4)2
=x2-8x+16

(4)(x+2)(x-2)
=x2-4

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