中学 数学

式の展開(置き換え)

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例題

次の式を展開しなさい。

(1)(3x+2y)(3x-2y)
(2)(5x-4y)2
(3)(x+2y+1)(x+2y-3)

ポイント

展開の途中で,ちょっと複雑だな,と思ったら,文字を置き換えて展開すると,公式に当てはめることができます。

解法・解説

(1)式の形を見ると,(○+△)(○-△)の形になっており,展開公式

  • (x+a)(x-a)=x2-a2

が使えそうですが,3xや2yに少し違和感を覚えます。そこで,3x=X,2y=Yと置き換えてみると

(3x+2y)(3x-2y)
=(X+Y)(X-Y)
=X2-Y2
=(3x)2-(2y)2
=9x2-4y2

となって,展開公式が見事に使えました。

(2)先ほどの置き換えを応用しましょう。5x=X,4y=Yと置き換えます。

(5x-4y)2
=(X-Y)2
=X2-2XY-Y2
=(5x)2-2×5x×4y+(4y)2
=25x2-40xy+16y2

コツ・要領を覚えると段々使い勝手が良くなってきます。

(3)「途中まで何か一緒だな」というところに気づきましょう。x+2yまで共通していますね。そこで,x+2y=Xと置き換えると

(x+2y+1)(x+2y-3)
=(X+1)(X-3)
=X2-2X-3
=(x+2y)2-2(x+2y)-3
=x2+4xy+4y2-2x-4y-3

となります。慣れなければ,この途中の過程で,2y=Yと置いて,(2)のように計算してもらっても構いません。

もちろん,分かってしまえば置き換えなくても可能ですので,問題数をこなして慣れてしまいましょう。

答案

(1)3x=X,2y=Yとおくと,

(3x+2y)(3x-2y)
=(X+Y)(X-Y)
=X2-Y2
=(3x)2-(2y)2
=9x2-4y2

(答え)9x2-4y2

(2)5x=X,4y=Yとおくと,

(5x-4y)2
=(X-Y)2
=X2-2XY-Y2
=(5x)2-2×5x×4y+(4y)2
=25x2-40xy+16y2

(答え)25x2-40xy+16y2

(3)x+2y=Xとおくと,

(x+2y+1)(x+2y-3)
=(X+1)(X-3)
=X2-2X-3
=(x+2y)2-2(x+2y)-3
=x2+4xy+4y2-2x-4y-3

(答え)x2+4xy+4y2-2x-4y-3







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