中学 数学

式の展開の文章題(連続した整数の平方)

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例題

3,4,5のように連続した3つの整数をそれぞれ平方した数の和に1を足すと3の倍数になる。このことを証明しなさい。

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解説・解法

例の3,4,5については,

32+42+52=9+16+25=50
50+1=51=3×17

となり,確かに3の倍数になっています。

2年の「文字式による説明」で,同じような問題を目にしたとは思いますが,今回はそれぞれの数を「平方した(2乗した)」数の和で,途中で展開の公式を使っていくことに気がつきます。

文字式による説明問題と同じように,はじめの整数(一番小さい数)をnとおいていきましょう。すると,真ん中(2番目に小さい数)はn+1,一番大きい数はn+2となります。

それぞれ平方したものに1を足すと,

n2+(n+1)2+(n+2)2+1
=n2 + n2+2n+1 + n2+4n+4 +1
=3n2+6n+6
=3(n2+2n+2)

となり,n2+2n+2は整数ですので,3(n2+2n+2)は3の倍数となります。

答案

連続した3つの整数のうち,最も小さい数をnとすると,残りの数はn+1,n+2で,それぞれ平方したものの和に1を足すと

n2+(n+1)2+(n+2)2+1
=n2 + n2+2n+1 + n2+4n+4 +1
=3n2+6n+6
=3(n2+2n+2)

n2+2n+2は整数だから,3(n2+2n+2)は3の倍数。
したがって,連続した3つの整数をそれぞれ平方した数の和に1を足すと3の倍数になる。

別解

「連続した○○個の整数・・・」という問題で,「○○個」が奇数の場合,計算を楽にさせる小技が使えます。真ん中の数をnとおいてみるというものです。

連続した3つの整数のうち,真ん中の数をnとおくと,残りの数はn-1,n+1となり,それぞれの平方の和に1を足すと

(n-1)2 + n2 + (n+1)2 +1
=n2-2n+1+n2+n2+2n+1+1
=3n2+3
=3(n2+1)

n2+1は整数だから,3(n2+1)は3の倍数。
したがって,連続した3つの整数をそれぞれ平方した数の和に1を足すと3の倍数になる。







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