*

式の展開の文章題(連続した整数の平方)

公開日: : 最終更新日:2015/06/21 中学, 数学 ,

例題

3,4,5のように連続した3つの整数をそれぞれ平方した数の和に1を足すと3の倍数になる。このことを証明しなさい。

スポンサードリンク

解説・解法

例の3,4,5については,

32+42+52=9+16+25=50
50+1=51=3×17

となり,確かに3の倍数になっています。

2年の「文字式による説明」で,同じような問題を目にしたとは思いますが,今回はそれぞれの数を「平方した(2乗した)」数の和で,途中で展開の公式を使っていくことに気がつきます。

文字式による説明問題と同じように,はじめの整数(一番小さい数)をnとおいていきましょう。すると,真ん中(2番目に小さい数)はn+1,一番大きい数はn+2となります。

それぞれ平方したものに1を足すと,

n2+(n+1)2+(n+2)2+1
=n2 + n2+2n+1 + n2+4n+4 +1
=3n2+6n+6
=3(n2+2n+2)

となり,n2+2n+2は整数ですので,3(n2+2n+2)は3の倍数となります。

答案

連続した3つの整数のうち,最も小さい数をnとすると,残りの数はn+1,n+2で,それぞれ平方したものの和に1を足すと

n2+(n+1)2+(n+2)2+1
=n2 + n2+2n+1 + n2+4n+4 +1
=3n2+6n+6
=3(n2+2n+2)

n2+2n+2は整数だから,3(n2+2n+2)は3の倍数。
したがって,連続した3つの整数をそれぞれ平方した数の和に1を足すと3の倍数になる。

別解

「連続した○○個の整数・・・」という問題で,「○○個」が奇数の場合,計算を楽にさせる小技が使えます。真ん中の数をnとおいてみるというものです。

連続した3つの整数のうち,真ん中の数をnとおくと,残りの数はn-1,n+1となり,それぞれの平方の和に1を足すと

(n-1)2 + n2 + (n+1)2 +1
=n2-2n+1+n2+n2+2n+1+1
=3n2+3
=3(n2+1)

n2+1は整数だから,3(n2+1)は3の倍数。
したがって,連続した3つの整数をそれぞれ平方した数の和に1を足すと3の倍数になる。

関連記事

促成栽培と抑制栽培

促成栽培とは 促成栽培(そくせいさいばい)とは,暖かい気候を利用して,野菜などを出荷する時期を早め

記事を読む

sinθの3倍角の公式 三角関数(数学2)

例題 三角関数の加法定理より,sin3θはsinθを用いて \sin3\theta=-\fbox

記事を読む

二重根号の外し方(2ルートabが出てこない形)

例題 \sqrt{4+\sqrt{15}}[/math]の二重根号を外すと, \frac{\sq

記事を読む

生徒

be動詞(am/are/is)の基本的な使い方

例文 I am a student.(私は学生です) 例文の解説 まず単語から。I

記事を読む

2次関数の決定(中学)

例題 yはxの2乗に比例し,x=-2のときy=8です。このとき,以下の(1),(2)に答えなさい。

記事を読む

no image

中世ヨーロッパの出来事

中学社会の教科書で取り上げられている中世ヨーロッパの出来事をまとめてみました。 (1)十字軍(11

記事を読む

sinθ+cosθの値からsin3乗+cos3乗の値を求める(数学2・三角関数)

例題 \sin\theta+\cos\theta=\frac{3}{5}[/math]のとき,

記事を読む

絶対値記号の外し方(数学1)

例題 次の式を,絶対値記号を外した形で表せ. (1)|x|+2 (2)|x+1|-3 (3)

記事を読む

There is ~ (~があります)

例文 This is a computer. (これはコンピューターです) There

記事を読む

ルートの中が自然数の2乗になるn(分数編)

例題 nを自然数とする。\frac{\sqrt{450n}}{2}[/math]が自然数となるよう

記事を読む

Message

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA


2017センター試験英語解説 第2問A(後半)【フェスでウェイ】

2017年のセンター試験英語、問2Aパートの解説です。前半の問1~問5

2017センター試験英語解説 第2問A(前半)

2017年のセンター試験英語、第2問の解説を。第2問のAパートは文法語

2017センター試験(本試)英語 超ざっくり解説

2017年のセンター試験、問題が出ました。ので、英語の解説を「超ざっく

2017年版 センター試験英語直前&本番アドバイス

センター試験(英語筆記)本番で焦らないために、と、直前に何かできるなら

2016年センター試験 英語解説 第3問C 要約 問1

センター英語・第3問Cの傾向 第3問Cは会話要約問題です。2013年

→もっと見る

PAGE TOP ↑