*

式の展開の文章題(連続した整数の平方)

公開日: : 最終更新日:2015/06/21 中学, 数学 ,

例題

3,4,5のように連続した3つの整数をそれぞれ平方した数の和に1を足すと3の倍数になる。このことを証明しなさい。

スポンサードリンク

解説・解法

例の3,4,5については,

32+42+52=9+16+25=50
50+1=51=3×17

となり,確かに3の倍数になっています。

2年の「文字式による説明」で,同じような問題を目にしたとは思いますが,今回はそれぞれの数を「平方した(2乗した)」数の和で,途中で展開の公式を使っていくことに気がつきます。

文字式による説明問題と同じように,はじめの整数(一番小さい数)をnとおいていきましょう。すると,真ん中(2番目に小さい数)はn+1,一番大きい数はn+2となります。

それぞれ平方したものに1を足すと,

n2+(n+1)2+(n+2)2+1
=n2 + n2+2n+1 + n2+4n+4 +1
=3n2+6n+6
=3(n2+2n+2)

となり,n2+2n+2は整数ですので,3(n2+2n+2)は3の倍数となります。

答案

連続した3つの整数のうち,最も小さい数をnとすると,残りの数はn+1,n+2で,それぞれ平方したものの和に1を足すと

n2+(n+1)2+(n+2)2+1
=n2 + n2+2n+1 + n2+4n+4 +1
=3n2+6n+6
=3(n2+2n+2)

n2+2n+2は整数だから,3(n2+2n+2)は3の倍数。
したがって,連続した3つの整数をそれぞれ平方した数の和に1を足すと3の倍数になる。

別解

「連続した○○個の整数・・・」という問題で,「○○個」が奇数の場合,計算を楽にさせる小技が使えます。真ん中の数をnとおいてみるというものです。

連続した3つの整数のうち,真ん中の数をnとおくと,残りの数はn-1,n+1となり,それぞれの平方の和に1を足すと

(n-1)2 + n2 + (n+1)2 +1
=n2-2n+1+n2+n2+2n+1+1
=3n2+3
=3(n2+1)

n2+1は整数だから,3(n2+1)は3の倍数。
したがって,連続した3つの整数をそれぞれ平方した数の和に1を足すと3の倍数になる。

関連記事

hope to ~ 「~することを望む」(to不定詞の名詞的用法)

例文 I hope to see you again.(またあなたにお会いしたいです)

記事を読む

2次方程式の解き方(平方完成)

例題 以下の2次方程式を解きなさい。 (1)x2-2x-1=0 (2)x2-3x+1=0

記事を読む

木炭の燃焼(炭素の燃焼)

木炭を燃焼させると,質量は・・ 空気中でスチールウールを燃焼させると鉄は酸素と結びつき,酸化鉄がで

記事を読む

数字

2次方程式(平方根を使った解き方- その2)

例題 次の2次方程式を解きなさい。 (1)(x+3)2=1 (2)(x+2)2=8 解説

記事を読む

sinθの3倍角の公式 三角関数(数学2)

例題 三角関数の加法定理より,sin3θはsinθを用いて \sin3\theta=-\fbox

記事を読む

余弦定理の基本

例題 AB=2,AC=3,∠A=60°の△ABCに余弦定理を適用すると, BC=\sqrt{\f

記事を読む

文字式による説明(十の位と一の位の数の計算)

例題 2桁の自然数と,その数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた数との和は11の倍数になります。そ

記事を読む

no image

多項式の乗法(展開)別解-分配法則を使う

例題 次の式を展開しなさい。 (1)(a+b)(c+d) (2)(2a-3b)(a+4

記事を読む

靴

連立方程式文章題(速さ・距離・時間)

例題 Aさんの家から学校まで2kmあります。 Aさんは8時に家を出て毎分60mの速さで歩いて学校

記事を読む

連立方程式(a,bの値を求める)

例題 以下の連立方程式の解がx=2,y=-1であるとき,a,bの値を求めなさい。 ax+by=3

記事を読む

Message

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA


2017センター試験(本試)英語 超ざっくり解説

2017年のセンター試験、問題が出ました。ので、英語の解説を「超ざっく

2017年版 センター試験英語直前&本番アドバイス

センター試験(英語筆記)本番で焦らないために、と、直前に何かできるなら

2016年センター試験 英語解説 第3問C 要約 問1

センター英語・第3問Cの傾向 第3問Cは会話要約問題です。2013年

come up with ~(~を思いつく)

例文 Don't wait until you're in a cr

A as well as B (BだけでなくAも)

例文 We need experience as well as k

→もっと見る

PAGE TOP ↑