中学 数学

因数分解(共通因数でくくる)

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例題

次の式を因数分解しなさい。

(1)ax+ay
(2)x2+6x+8
(3)x2-x-2

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因数分解とは

(x+1)(x+2)=x2+3x+2 のような流れを「展開」と言いましたが,この逆,x2+3x+2=(x+1)(x+2)に戻すことを「因数分解」と言います。この中で,(x+1),(x+2)は掛け算のもと,という意味合いで「因数」と呼びます。掛け算のもとに戻してあげるという手順です。

解説・解法

(1)ax+ayの中で,aが同じようにして出てきています。aを共通因数といい,このaでくくり出してあげましょう。2x+4y=2(x+2y)のような感じで,aをカッコの外に追い出して

ax+ay=a(x+y)

因数分解するとこの形になります。

(2)展開で過去に習った,(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+abの形(乗法公式の1.の形)を使います。x2+6xy+8=(x+a)(x+b)の形にすれば良いのですが,

x2+6x+8=(x+a)(x+b)・・・①,つまり
x2+6x+8=x2+(a+b)x+ab・・・②

②の式を見比べてみると,a+b=6,ab=8になるということが分かります。つまり,aとbを足して6,aとbを掛けて8になるようなaとbを探しにいくことになります。

この作業,最初は難しく感じるかもしれませんが,教科書などの例題や章末問題で慣れていくと,スピードアップしますし,この形の因数分解は後々2次方程式を解く際にも役立つので,正確かつスピーディにこなせるよう練習しておいて損はなさそうです。

話を戻して,「足して6,掛けて8になる2つの数a,bの組み合わせは何ですか?」という問題になっていますが,これを解くには,最初は総当りでやってみてはいかがかと。掛けて8になる数は(自然数に絞ると)・・・・

  • 1×8
  • 2×4

の2パターン(逆も同じものとして)だけになります。その中で,1と8は足したら9≠6なのでアウト,2と4だと2+4で6となり,この2と4がaとbの組になりそうです。したがって,①の式にその組み合わせを代入してあげて

x2+6x+8=(x+2)(x+4)

が答えとなります。(x+4)(x+2)も可です。

(3)(2)では候補を自然数に絞ってやっていましたが,マイナスの整数も視野に入れていきます。つまり

「足して-1,掛けて-2になる数の組み合わせは?」という問題で,掛けて-2になる数は

  • 1×(-2)だと,1と-2それぞれ足して-1
  • (-1)×2だと,-1と2それぞれ足して1

なので,組み合わせとしては1と-2になるでしょう。これを先ほどの①の式に代入し

x2-x-2=(x+1)(x-2)

答案

(1)ax+ay=a(x+y)
(答え)a(x+y)

(2)x2+6xy+8=(x+2)(x+4)
(答え)(x+2)(x+4) または (x+4)(x+2)

(3)x2-x-2=(x+1)(x-2)
(答え)(x+1)(x-2) または (x-2)(x+1)







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