中学 数学

因数分解(乗法公式の逆を使う)

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例題

次の式を因数分解しなさい。

(1)x2-1
(2)x2+6x+9
(3)2x2-20x+50
(4)a3b-ab3

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乗法公式の逆

前回の問題で,因数分解は「共通因数でくくり出す」「乗法公式の逆を使う」ことを学びました。今回はその続きをやりましょう。展開の逆(積の形に戻す)が因数分解ですので,展開で習った乗法公式の両辺を左右逆転させてみると,下のような公式が得られます。

  1. x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
  2. x2+2ax+a2=(x+a)2
  3. x2-2ax+a2=(x-a)2
  4. x2-a2=(x+a)(x-a)

これらのうち,今回の問題では2番~4番を使います。

解説・解法

(1)「展開公式の逆」4番の式について,a=1を当てはめてみましょう。1は2乗しても1ですので

x2-1
=x2-12
=(x+1)(x-1)

(2)2番の式について,a=3を当てはめてみましょう。

x2+6x+9
=x2+2×3×x+32
=(x+3)2

(3)それぞれの項が偶数から成り立っています。まず,共通因数(偶数なので,2)でくくるべきではないでしょうか・・?

2x2-20x+50
=2(x2-10x+25)

そうすると,カッコの中をさらに因数分解できそうです。公式の3番を使いましょう。

2(x2-10x+25)
=2(x2-2×5+52)
=2(x-5)2

(4)まず,(3)と同様共通因数でくくり出してあげる必要があります。この場合の共通因数は何でしょうか?a3b=a×a×a×bで,ab3=a×b×b×bなので,a×b,すなわちabが共通因数ということになります。a3b-ab3をまず,共通因数abでくくり出して

a3b-ab3
=ab(a2-b2)

その後,カッコの中,a2-b2の部分を(1)と同様に因数分解していけば良いでしょう。

ab(a2-b2)
=ab(a+b)(a-b)

答案

(1)x2-1=(x+1)(x-1)

(答え)(x+1)(x-1)

(2)x2+6x+9=(x+3)2

(答え)(x+3)2

(3)2x2-20x+50
=2(x2-10x+25)
=2(x-5)2

(答え)2(x-5)2

(4)a3b-ab3
=ab(a2-b2)
=ab(a+b)(a-b)

(答え)ab(a+b)(a-b)

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