因数分解(乗法公式の逆を使う)

例題

次の式を因数分解しなさい。

(1)x²-1
(2)x²+6x+9
(3)2x²-20x+50
(4)a³b-ab³

スポンサードリンク

乗法公式の逆

前回の問題で，因数分解は「共通因数でくくり出す」「乗法公式の逆を使う」ことを学びました。今回はその続きをやりましょう。展開の逆(積の形に戻す)が因数分解ですので，展開で習った乗法公式の両辺を左右逆転させてみると，下のような公式が得られます。

1. x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2. x²+2ax+a²=(x+a)²
3. x²-2ax+a²=(x-a)²
4. x²-a²=(x+a)(x-a)

これらのうち，今回の問題では2番～4番を使います。

解説・解法

(1)「展開公式の逆」4番の式について，a=1を当てはめてみましょう。1は2乗しても1ですので

x²-1
=x²-1²
=(x+1)(x-1)

(2)2番の式について，a=3を当てはめてみましょう。

x²+6x+9
=x²+2×3×x+3²
=(x+3)²

(3)それぞれの項が偶数から成り立っています。まず，共通因数(偶数なので，2)でくくるべきではないでしょうか・・？

2x²-20x+50
=2(x²-10x+25)

そうすると，カッコの中をさらに因数分解できそうです。公式の3番を使いましょう。

2(x²-10x+25)
=2(x²-2×5+5²)
=2(x-5)²

(4)まず，(3)と同様共通因数でくくり出してあげる必要があります。この場合の共通因数は何でしょうか？a³b=a×a×a×bで，ab³=a×b×b×bなので，a×b，すなわちabが共通因数ということになります。a³b-ab³をまず，共通因数abでくくり出して

a³b-ab³
=ab(a²-b²)

その後，カッコの中，a²-b²の部分を(1)と同様に因数分解していけば良いでしょう。

ab(a²-b²)
=ab(a+b)(a-b)

答案

(1)x²-1=(x+1)(x-1)

(答え)(x+1)(x-1)

(2)x²+6x+9=(x+3)²

(答え)(x+3)²

(3)2x²-20x+50
=2(x²-10x+25)
=2(x-5)²

(答え)2(x-5)²

(4)a³b-ab³
=ab(a²-b²)
=ab(a+b)(a-b)

(答え)ab(a+b)(a-b)

関連記事

• 因数分解(共通因数でくくる)
• 2乗の計算術(工夫して計算する)
• 素因数分解(できるだけ小さい自然数をかけて平方数にする)
• 置き換えによる因数分解(数学Ⅰ)