中学 数学

「連続する奇数の平方の差は8の倍数」の証明

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例題

連続した2つの奇数を平方した差は8の倍数になる。このことを証明しなさい。

  • たとえば1と3の場合,32-12=9-1=8で8の倍数。
  • 3と5の場合,52-32=25-9=16で8の倍数。

・・・という流れで,連続した奇数を平方(2乗)した差は8の倍数になる,ということを文字を使って証明していきます。

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解説・解法

nを整数とすると,奇数は2n-1とおくことができます(偶数が2の倍数=2nとおくことができるので)。

では連続する奇数の中で,小さい方の奇数を2n-1とおきましょう。すると,大きいほうの奇数どう表せるでしょうか?具体的な数の例を挙げると・・

  • 小さい方の奇数が1ならば,大きい方の奇数は3(2足してますね)
  • 小さい方の奇数が3ならば,大きい方の奇数は5(これも2足してる)

ということで,大きい方の奇数は,小さい方の奇数に2を足している,ということが分かります。つまり,大きいほうの奇数は(2n-1)+2=2n+1とおくことができます。それぞれの奇数を平方した差は,

(2n+1)2-(2n-1)2
=4n2+4n+1-(4n2-4n+1)
=8n

nは整数だから8nは8の倍数、したがって連続した2つの奇数を平方した差は8の倍数になる。という具合です。この考えがどうもイマイチ,という方は2年生の範囲の「連続した5つの整数の和」の項目も参照下さい。

解説では展開を利用しましたが(もちろんそれでもOKです),【答案】では因数分解を使ったやり方で解いています。置き換えによる因数分解の知識を使っていますが,「置き換えること」そのものはしていません。慣れてくると置き換えずにやれてしまいます。それまで慣れて、慣れて、慣れましょう。

答案

nを整数とし,小さい方の奇数を2n-1とおくと,大きい方の奇数は2n+1と表せるから,それぞれの平方の差は

(2n+1)2-(2n-1)2
={(2n+1)+(2n-1)}{(2n+1)-(2n-1)}
=4n×2
=8n

nは整数だから8nは8の倍数、したがって連続した2つの奇数を平方した差は8の倍数になる。







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