中学 数学

文字式による説明(3の倍数の見分け方の証明)

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例題

3けたの自然数Aがあり,その百の位,十の位,一の位の和が3の倍数ならば,Aは3の倍数である。このわけを説明しなさい。

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例題の例

たとえば簡単な例で言うと,A=150(3×50であからさまに3の倍数ですよね)の百の位は1,十の位は5,一の位は0となり,この3つの数を足すと,1+5+0=6となります。6は3の倍数ですね。このように,一の位、十の位、百の位を足した数が3の倍数だったら,Aの150も3の倍数ですよ、このことを証明してくださいという問題なのです。

まだピンとこない方はA=957などいかがでしょうか。それぞれの位の数の和は9+5+7=21で,21は3の倍数ですから957も3の倍数になります(筆算したり電卓で割ってみたりしてください)。

解法・解説

問題文中に「百の位」~「一の位」という指定がありますので,それを使います。十の位と一の位の計算にもありましたが,3桁の数Aをどうやって表すか?は,

A=(百の位の数)×100+(十の位の数)×10+(一の位)

と表すことができます。百の位の数をa,十の位の数をb,一の位の数をcとしてみると,

A=100a+10b+c・・・①

こう表せるわけです。一方,それぞれの位の数の和はa+b+cとなりますが,これが3の倍数であることを答案に書いてあげます。nを自然数としたら,3の倍数は3nと表せますから

a+b+c=3n・・・②

こう表すことができます。で,②を①に代入していくのですが,1つコツが。a+b+cを無理やり強引に(?)切り離して,式の中に入れてしまうのです。

A=100a+10b+c
=a+b+c+99a+9b(100aをa+99aに,10bをb+9bに切り離しました)
=3n+99a+9b(a+b+c=3の倍数,つまり3nでしたね)
=3(n+33a+3b)

何をしたかと言うと,a+b+cが式の中に混ざっていたので,それを切り離しました。すると99a+9bが残ったので,これは3でくくることが出来る(つまり3の倍数な)のです。

3(n+33a+3b)で,n+33a+3bは整数だから3(n+33a+3b)は3の倍数であるということは連続した整数の和の問題でやりましたので忘れている方は復習を。

これを答案にまとめていきましょう。

答案

Aの百の位の数をa,十の位の数をb,一の位の数をcとすると,それぞれの位の和が3の倍数だから,nを自然数として

a+b+c=3n

と表せる。また,

A=100a+10b+c
=a+b+c+99a+9b
=3n+99a+9b
=3(n+33a+3b)

n+33a+3bは自然数だから,3(n+33a+3b)は3の倍数,したがって百の位,十の位,一の位の和が3の倍数ならば,Aは3の倍数となる。







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