中学 数学

平方根(根号を使わずに表す・正の平方根・負の平方根)

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例題

[1]次の数を,根号を使わずに表しなさい。

(1)\sqrt{25}
(2)-\sqrt{(-1)^{2}}
(3)\sqrt{\frac{16}{9}}

[2]以下の(1)~(3)について,正しいものには○をつけ,間違っているものは正しく直しなさい。

(1)36の平方根は6である。
(2)(-\sqrt{10})^{2}=10である。
(3)\sqrt{1}=\pm{1}である。

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解説・解法

[1]「根号を使わずに表す」問題の解き方について解説します。「ルートとは?」でも述べましたが,\sqrt{3}は「2乗して3になる数」,という意味合いでした。

aを正の数として,

\sqrt{a^{2}}=a

という式が成り立ちます。これを応用して

(1)\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}=5

(2)-\sqrt{(-1)^{2}}=-\sqrt{{1}^{2}}=-1

(3)\sqrt{\frac{16}{9}}=\sqrt{(\frac{4}{3})^{2}}=\frac{4}{3}

[2]平方根についての正誤を問う問題は,入試にはほとんど出ませんが,学校の定期テストにはなぜかとてもよく出ます。それだけ間違いやすいからでしょうか。あるいは正しい知識を知っておいて欲しいからでしょうか・・。

(1)「ルートとは?」で復習してほしいのですが,「36の平方根は□である」というのは,「□を2乗したら36になる」ということなので,□に入る数字は6だけでなく,-6もあります。6を正の平方根,-6を負の平方根と言います。

(2)(-\sqrt{10})^{2}=(-1)^{2}(\sqrt{10})^{2}=10となり,これは○ですね。

(3)\sqrt{1}は1の平方根のうち,正の平方根の部分です。負の平方根(-1)は含まれませんので,そこだけ注意してください。

答案

[1]

(1)\sqrt{25}=5

(2)-\sqrt{(-1)^{2}}=-1

(3)\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}

[2]

(1)誤り。36の平方根は±6.

(2)○

(3)誤り。\sqrt{1}={1}







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