中学 数学

文字式による説明(連続した整数の和)

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例題

5つの続いた整数の和は5の倍数になります。このわけを説明しなさい。

解説・解法

たとえば1から始まる数字を5つ続けて書くと,1,2,3,4,5となり,それぞれ足すと1+2+3+4+5=10になり,5の倍数ですね。

3から始まるものも同様に,3+4+5+6+7=25となり,やはり5の倍数。
全部の数について,5つ足したら5の倍数だとチェックしていると・・・日が暮れるどころか人生が終わってしまいますので,どうにかして楽な方法を見つけましょう。こういうときに文字を使うのです。

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5つ文字の中で一番小さい数をnとしましょう。2番目に小さい数は,nという文字を使うとどんなようになるでしょうか?たとえば一番小さい数が1だったら,2番目に小さい数は2となりますし,一番小さい数が3だったら,2番目に小さい数は4となります。

(1番小さい数)=n → (2番目に小さい数)=□
(1番小さい数)=1 → (2番目に小さい数)=2
(1番小さい数)=3 → (2番目に小さい数)=4

つまり,2番目に小さい数は1番目に小さい数に比べて1大きい・・・ということは,一番小さい数がnの場合,nより1大きい数となります。「nより1大きい数」をnを使って表すと,何だか分かりますか?

(2番めに小さい数) = (nより1大きい数) = (nに1を足した数) = n+1

となるのです。同じように,真ん中の数(3番目に大きい数)は,先に出した「2番目に大きい数」よりも1大きいので,n+1に1を足すという考えです。

n+1+1=n+2

この要領で,残りの2つの数(4番目に小さい数と一番大きい数)をnを使って表すと,

4番目の数:n+2+1=n+3
一番大きい数:n+3+1=n+4

となります。これらを足し算して和を求めると

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)
=5n+10

となります。ここで,分配法則の逆を使っていきます。5n+10,それぞれ5で括ってしまいましょう。

5n+10=5(n+2)

これについて考えてみると,nが整数なので,カッコの中身の(n+2)も整数だということが分かります。一方で,カッコの外に5が付いている,つまり

5(n+2) は  5×(整数)

だということが分かります。5に整数をかけたものならば5の倍数になりますよね。あとはその要点を答案にまとめていきましょう。

答案

5つの連続した整数のうち,最も小さい数をnとすると,連続した5つの整数は

n,n+1,n+2,n+3,n+4

と表され,その和は

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)
=5n+10
=5(n+2)

n+2は整数だから,5(n+2)は5の倍数。
したがって,5つの連続した整数は5の倍数となる。

(証明終わり)

これ,計算を省略,というか簡単にする別解があるのです。真ん中の数をnと置いてみると少しスッキリしますよ。

別解

5つの連続した整数のうち,真ん中の数をnとすると,連続した5つの整数は

n-2,n-1,n,n+1,n+2

と表され,その和は

(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)
=5n

nは整数だから,5nは5の倍数。
したがって,5つの連続した整数は5の倍数となる。

(証明終わり)

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