中学 数学

文字式による説明(十の位と一の位の数の計算)

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例題

2桁の自然数と,その数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた数との和は11の倍数になります。そのわけを説明しなさい。

解説・解法

問題が少しややこしいし読みづらいかもしれません。問題を具体化していくと,たとえば

  • 「2桁の自然数」を25とすると,
  • 「十の位と一の位の数を入れ替えた数」は52になります。

これら2つの数の和は25+52=77になります。77=11×7で11の倍数になりますね。

これをすべての2桁の自然数でやろうとすると,11から99まで全部やらなきゃいけない・・・途方もないですね。それを考えると,今回も文字を使った解き方でいけば,比較的あっさりと解決する方向に向かいそうです。

ここでポイントになるのが「2桁の自然数」を文字でどう表現すれば良いのかということ。25などの数字をnなどの1文字で置き換えてしまうと・・・「一の位と十の位を入れ替えるときにどうすればいいんだ?」という新たな問題が発生してしまいます。

ここは,一の位と十の位を入れ替えやすいように,2桁の自然数を,一の位と十の位が分かるように文字で表してあげれば良いということに気づくでしょうか。

では,2桁の自然数十の位をa,一の位をbとしてみましょう。2桁の自然数を,aとbを使ってどうやって表せばいいでしょうか。

例えば25だと十の位は2,一の位は5。

25を十の位である2と一の位である5を使ってどう表現するでしょうか?

  • 十の位×一の位?2×5=10になって違いますね。
  • 十の位+一の位?2+5=7になって,これも違いそうです。

なかなか辿り着けませんね。ヒントは・・読みでしょうか。「にじゅうご」・・・十の位の2を10倍して、5。・・・そうです。十の位の数である2を10倍して,5を足す要領です。

では,十の位がaで一の位がbの2桁の自然数は,不自然な読み方ですが「aじゅうb」・・・。十の位のaを10倍して,bを足す。

a×10+b=10a+b

こうなるわけです。ここまで来ればあと少し。十の位と一の位を入れ替えた数は「bじゅうa」・・・十の位のbを10倍し,aを足す。

b×10+a=10b+a

となり,2つの数を足すと,

10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)

あとは前回のやり方と同じですね。a,bはそれぞれ十の位の数,一の位の数なので,1桁の自然数ですね。ですのでa+bも自然数になり,それに11が掛けられているということは11の倍数になる,ということです。さあ,答案にまとめてみましょう。

答案

2桁の自然数(もとの数)の十の位をa,一の位をbとすると,この数は10a+bと表せる。入れ替えた数は10b+aと表せるから,その和は

10a+b+10b+a=11(a+b)

a+bは自然数だから,11(a+b)は11の倍数。

したがって,2桁の自然数と,その数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた数との和は11の倍数。







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