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ルートの中が自然数になるようなnを求める

公開日: : 中学, 数学

例題

nを100までの自然数とするとき,\sqrt{40n}が自然数となるようなnの値をすべて求めなさい。

解説・解法

jugyou「ルートの中の数値を自然数にするようなn」を求める問題です。場当たり的に解いてもなかなか正解に辿り着かないので,

  • まずは素因数分解して,ルートの中を出来るだけ簡単にする
  • 次にルートの中が簡単になるように持っていく

の順で解いていきましょう。

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まず,ルートの中を簡単にして,

\sqrt{40n}=\sqrt{2^{2} \times 10n}=2\sqrt{10n}

となるところまでは良いでしょうか(分かりにくかった方は「根号の中を簡単にする」も参照してください)。2は自然数なので,\sqrt{10n}が自然数になるようなnの値を求めれば良いということになります。

nには何が入るでしょうか?一番手っ取り早いのが,10ですよね。n=10のときは,\sqrt{10 times 10}=10となり,条件を満たしそうなのですが,その先は何を入れれば良いのでしょうか。

\sqrt{10n}=\sqrt{10}\times \sqrt{n}とすれば,一見「nは10の倍数なら何でもいいんじゃない?」って思いがちですが,20だと\sqrt{10}\times sqrt{20}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}となり,自然数になりませんでした。

どうすれば良いでしょうか。条件をを満たすnは

n=10×(何かの2乗)

と考えてみましょう。mを自然数とおいて,n=10×m2としてみてください。

\sqrt{10}\times \sqrt{n}=\sqrt{10}\times\sqrt{10}\times\sqrt{m^{2}}=10m

となりますから,この方法が使えそうです。mに1,2,3…と代入していき答えを得る方法を「答案」に示します。

答案

mを自然数として,n=10×m2とおくと,

\sqrt{10n}=\sqrt{10}\times \sqrt{n}=\sqrt{10}\times\sqrt{10}\times\sqrt{m^{2}}=10m

となり,\sqrt{40n}が整数となる。

(i)m=1のとき,n=10×12=10(このとき,\sqrt{10n}=\sqrt{100}=10

(ii)m=2のとき,n=10×22=40(このとき,\sqrt{10n}=\sqrt{400}=20

(iii)m=3のとき,n=10×32=90(このとき,\sqrt{10n}=\sqrt{900}=30

(iv)m=4のとき,n=10×32=160となり,n>100となるため不適。m≧5についても同様のため,

n=10,40,90・・・(答え)

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