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分母の有理化(数学1・中学発展)

公開日: : 最終更新日:2014/11/12 中学, 数学, 高校

例題

\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}の分母を有理化すると

\fbox{A}+\fbox{B}\sqrt{\fbox{C}}

である.(ただし,A,B,Cにはそれぞれ1桁の自然数が1つずつ入ります)

出題傾向

中学の教科書では発展レベル,高校の教科書では基本標準レベルの問題です。高校入試で出るとすれば国立や公立の独自問題作成校や有名私立高校は出てもおかしくはないでしょう。

大学入試では,私立大文系でマーク式問題が出されるところはこのパターンが好き(マーク式と相性が良いから?)そして,センター試験の最初の問題でかなりの高確率で出てきました。最初の最初の問題なので解けないとかなり苦い思いをします・・・。と煽っておきながら解説していきましょう。

解説・解法

分母を有理化すれば良いのですが,分母の\sqrt{3}-\sqrt{2}に一体何をかけてあげればルートが外れるのでしょうか・・・。

平方根の乗法公式を使った問題で,

  • (a+b)(a-b)=a2-b2

とあったのを思い出してください。分母の\sqrt{3}-\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}をかけると

(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})
=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}
=3-2=1

となります。これを使って,それぞれ分子,分母にそれぞれ\sqrt{3}+\sqrt{2}をかけて

\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}
=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}
=\frac{({\sqrt{3}+\sqrt{2}})^{2}}{1}
=(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}
=3+2\sqrt{6}+2
=5+2\sqrt{6}

答案

\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}
=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}
=\frac{({\sqrt{3}+\sqrt{2}})^{2}}{1}
=\fbox{5}+\fbox{2}\sqrt{\fbox{6}}

よって,A=5,B=2,C=6・・・(答え)

類題出題履歴

 

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