中学 数学

素因数分解(できるだけ小さい自然数をかけて平方数にする)

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例題

96にできるだけ小さい自然数nをかけて,ある自然数の平方にしたい。このとき,

(1) nを求めなさい。
(2) 96にnをかけた自然数は何の平方になりますか?
(3) (2)で求めた数を平方した値を求めなさい。

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解説・解法

(1)先に学習した素因数分解の応用問題です。この手の問題を解くときは,「96という数字は一体何と何の掛け合わせなのか」を知る必要があります。どんな数とどんな数が掛けあわさっているかを知るときは,まず問題となっている数(96)を素因数分解することから始まります。

96
=2×48
=2×2×24
=2×2×2×12
=2×2×2×2×6
=2×2×2×2×2×3
=25×3

と,ここまで計算しておいて,25×3の一歩手前で止めましょう。

96
=(2×2)×(2×2)×2×3
=4×4×2×3
=42×6・・・・①

ここで止めといて,2乗のお話に戻りましょう。「×」という記号でかけられて,それがずーっと続いているものに関しては,順番はごっちゃになって構わないので

a2×b2=a×a×b×b=(a×b)×(a×b)=(ab)2

このことが成り立ちます。話を①に戻して,

96=42×6

これが42×□2=(4×□)2になるように持っていけば良いので,お気づきの方もいらっしゃるとは思いますが

□=n=6

になります。

(2)(1)の結果から,

96×6=(4×6)2

になりますので,4×6=24の2乗となります。

(3)「24の2乗」を計算すれば良いだけで,

24×24=576

答案

(1)96を素因数分解すると

96=25×3=42×6

となるから,n=6  (答え)n=6

(2)(1)より,

96×6=42×62=(4×6)2=242

となり,24の2乗となる。   (答え)24

(3)242=24×24=576  (答え)576







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