中学 数学

ルート(根号)を含む式の乗除(2)根号の中は小さい数に

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例題

次の計算をしなさい。ただし,根号の中はできるだけ小さい数にしなさい。

(1)\sqrt{6} \times \sqrt{3}
(2)2\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}

解説・解法

根号を含む式の乗除」の問題に,「根号を使わずに表す」を応用します。ルートの計算では,「根号の中はできる限り小さな数にしなさい」という注意書きor暗黙の断り書きがあります。

(1)
\sqrt{6} \times \sqrt{3}
=\sqrt{18}

はいこれで終わり楽勝~。とすると,大きな落とし穴があるのです。「根号の中は出来るだけ小さな数にしろ」と。ルートの中の18を素因数分解してみましょう。18=2×9=2×32なので,

\sqrt{18}=\sqrt{2} \times \sqrt{3^{2}}=\sqrt{2} \times 3=3\sqrt{2}

(2)は(1)にプラスして,「ルートの外側はルートの外側どうし,ルートの内側はルートの内側どうし掛け算すべし」というテクニックを使います。問題を解きながら実例を挙げると

2\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}
=2 \times 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{6}
=6 \times \sqrt{12}
=6 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3}
=6 \times \sqrt{2^{2}} \times \sqrt{3}
=6 \times 2 \times \sqrt{3}
=12 \sqrt{3}

このあたり,素因数分解と組み合わせて2乗を作っていくため,ルートを含む式の乗除をする,そのあえて先に,素因数分解を学習するのかもしれませんね。

答案

(1)

\sqrt{6} \times \sqrt{3}
=\sqrt{18}
=3 \sqrt{2}  (答え)3 \sqrt{2}

(2)

2\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}
=2 \times 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{6}
=6 \times \sqrt{12}
=12 \sqrt{3}   (答え)12 \sqrt{3}

 







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