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連立方程式の文章題(人数の増減・割合)

公開日: : 最終更新日:2014/05/15 中学, 数学

例題

1nenseiある小学校の昨年の入学者数は,男女合わせて155人でした。今年の入学者数は昨年と比べて,男子が8%増え,女子が5%減ったので,男女合わせて2名増えました。このとき,以下の(1),(2)に答えなさい。

(1)昨年の男子・女子それぞれの入学者数を求めなさい。
(2)今年の男子・女子それぞれの入学者数を求めなさい。

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解説・解法

割合の問題も連立方程式によく出題されます。特に男女の数についてはよく定期テストに出題されていますので,一つパターンとして暗記しておいた方がよさそうです。

さて,(1)から順に解いていきましょう。去年の男子の入学者をx人,女子の入学者をy人とすると,去年の入学者について,「男女合わせて155人」なので,

x+y=155・・・①

という式は作れると思います。「今年の入学者」については,総数で計算する方法もありますが(後述します),計算を簡単にするために,増減だけについての式を作ることをお勧めします。

  • 今年の男子は,去年と比べて8%(去年の8%)増えた・・・+0.08x人
  • 今年の女子は,去年と比べて5%(去年の5%)減った・・・-0.05y人
  • 男女合わせて,去年と比べて2人増えた・・・+2人

これらから,

0.08x – 0.05y = 2・・・②

この式を作れれば,あとは連立方程式を解くだけです。

5x+5y=775・・・・①×5
8x-5y=200・・・・②×100

13x=975
x=75

①に代入して,y=80

増減を使わずに求める

②の代わりに増減を使わずに,昨年の男女の人数を求めることもできるのですが,少し厄介です。総数で考えると

  • 今年の男子の人数は,去年より8%増えた→去年の(1+0.08=)1.08倍・・・1.08x
  • 今年の女子の人数は,去年より5%減った→去年の(1-0.05=)0.95倍・・・0.95y
  • 男女合わせて,155人から2人増えたので,今年は157人

これらから

1.08x+0.95y=157・・・③

という式を作っても良いのですが,①と③を連立させる段階で,計算ミスが多発します(これを書いている私も中学時代定期テストでこう答えて,計算ミスで5点問題を落とした苦い思い出があります)。あまりお勧めは・・・できませんね。

今年の人数について

(2)は,「今年の人数について」なのでただ計算すれば良いだけです。

  • 男子は8%増→108%になったので1.08を掛けて,75×1.08=81人
  • 女子は5%減→95%になったので0.95を掛けて,80×0.95=76人

これで答えが出るわけですが,たまに,定期テストで引っかけとして「今年の男子・女子の人数をそれぞれ求めなさい」という(2)のパターンだけ出題されることがあり,非常に惑わせられます。問題文はくれぐれもよく読みましょう。

答案

(1)昨年の男子の入学者をx人,女子の入学者をy人とすると,

x+y=155・・・①
0.08x – 0.05y = 2・・・②

これを解いて,x=75,y=80

(答え)男子…75人,女子…80人

(2)男子は75×1.08=81人,女子は80×0.95=76人

(答え)男子…81人,女子…76人

高校入試出題履歴

  • 平成26年(2014)茨城県 大問3(3)

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