中学 数学

分母の有理化(中3数学)

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例題

次の数の分母を有理化しなさい。

(1)\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
(2)\frac{6}{\sqrt{3}}

「分母の有理化」とは?

分母を有理化する」とは,分母を有理数にする・・・大雑把に言うと分母の根号を外すことです。定期テストや入試問題でもよく見られ,「根号の中は出来るだけ小さい数に」とともに,注意書きに書かれていたり暗黙の了解とされていたり,ルートの計算問題あっても,分母が有理化された形で解答しなければ×か△になる可能性もあります・・。

ではどうすれば有理化できるのでしょうか?例題を解きながら見ていきましょう。

解法・解説

(1)当たり前ですが,何か数に1をかけても同じままのはずですよね。

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times 1

ですね。でも,1って分母と分子が同じ数を約分したものでもあるので

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

と表すことができます。そうすれば,

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3 \times 2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} =\frac{\sqrt{6}} {2}

となり,分母にルートが含まれない形となりました。

(2) (1)と同じようにすればOKです。

\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}

あとは,ルートの外の数字(分子の6と分母の3)約分してあげればOKです。

\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}

答案

(1)\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
=\frac{\sqrt{6}} {2} ・・・(答え)

(2)\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}
=2\sqrt{3}・・・(答え)

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