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平方根の近似値

公開日: : 最終更新日:2015/04/02 中学, 数学

例題

電卓を使わずに\sqrt{2}の近似値を,小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めなさい。

平方根の近似値を小数で表す

dentaku電卓に付いている「√」ボタンを使い,「2」→「√」を押せば,\sqrt{2}の近似値が一発で出てきますが,試験中に電卓を持ち込むことは出来ませんので・・・。

人力で,\sqrt{2}を小数で表してみましょう。

\sqrt{2}は2乗すると2になります。その一方で,1を2乗すると1ですから,\sqrt{2}は1より大きく,1<2なので,プラスの平方根を取って不等号で表すと

1<\sqrt{2}・・・①

また,2を2乗すると4になります。2<4より,プラスの平方根を取って

\sqrt{2}<2・・・②

が言えます。

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解説・解法

①,②より,\sqrt{2}1と2の間にある数だということが分かります。多少力ずく感もありますが,小数1位については,(1.1)2,(1.2)2,・・・と求めていきましょう。

  • (1.1)2=1.21 ←まだ遠い道のり
  • (1.2)2=1.44 ←1.5が見えてきた
  • (1.3)2=1.69 ←1.5を超えた
  • (1.4)2=1.96 ←だんだん2に近づいてきました
  • (1.5)2=2.25 ←2を超えました

ということで,\sqrt{2}を小数1位まで表すと,1.4○○○・・・

同じように,小数第2位も求めてしまいましょう。

  • (1.41)2=1.9881 ←もう既に2に近い
  • (1.42)2=2.0164 ←2を超えました

ということは,\sqrt{2}小数2位まで表すと,1.41○○○・・・

小数2位を四捨五入すれば良いので,

\sqrt{2}≒1.4

となります。

答案

12<2<22より,

1<\sqrt{2}<2

また,(1.4)2=1.96,(1.5)2=2.25なので,

1.4<\sqrt{2}<1.5

(1.41)2=1.9881,(1.42)2=2.0164より,

1.41<\sqrt{2}<1.42 (答え)1.4

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