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対称式の因数分解(数学Ⅰ)

公開日: : 最終更新日:2014/05/12 数学, 高校

例題

次の式を因数分解せよ.

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc

対称式の因数分解ってどうやるの・・・

dentaku2上記の式のようなa,b,c文字が対称的に規則正しく並んでいる式を「対称式」って言いますが,これを因数分解するときは,なんだか「どこから取っついていいのか分からない」感があり,「あー難しい」って思う原因を作ってるんじゃないでしょうか。

一つのアプローチとしては,どれでもいいので一つ文字をターゲットにして

  • 降べきの順に並べる
  • 置き換えられそうなものがあったら置き換えてみる
  • ダメならたすき掛けも使ってみる

これでそこそこ,まあまあ乗りきれるものが多いのではないでしょうか。上記の例題にしても,「まず展開して」「aについて降べきの順に並べて「共通因数b+cが見つかったからくくって」粛々とaの式の因数分解を進めていけばできるというものです。

答案

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc
=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc
=(b+c)a2+(b2+c2+2bc)a+b2c+bc2
=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)
=(b+c)(a2+2(b+c)a+bc)
=(b+c)(a+b)(a+c)・・・(答え)

 の流れです。

テスト・入試用補足

「対称式」の因数分解は,教科書の因数分解の項目の最後の方にまとめや仕上げとして出てくることが多いので,定期テストなどでは

  • 「共通因数を見つける」
  • 「まとめる・くくる」
  • たすき掛けをする

などの基本をしっかり身につけて臨みましょう。

私立大なら因数分解単問で出る可能性もありますし,国公立ではこの手の問題は,不等式の証明をするときに因数分解ができないと痛い目を見ることがあります。

センター試験ではあまり見ませんが,絶対出ないぞ!とは言い切れませんね・・。

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