中学 数学

平方根の計算(乗法公式・分配法則を使う)

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例題

以下の計算をしなさい。

(1)\sqrt{2}(1+\sqrt{2})
(2)(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})
(3)(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}

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乗法公式を使ったルートの計算

以前に習った「乗法公式」の中でも特に2番~4番の公式は,平方根の計算と相性がバッチリなのです。「ルートを2乗したらルートが外れる」を応用していきましょう。

解説・解法

(1)ここは乗法公式を使うというよりも普通の展開(分配法則)を使えば解けるでしょう。

\sqrt{2}(1+\sqrt{2})
=\sqrt{2} \times 1+ \sqrt{2} \times \sqrt{2}
=\sqrt{2}+2

ちょっと式が長くなりますが,これが答えです。これから「長い答え」を見てもあまりビビらないようにしましょう。

(2)乗法公式のうち,

  • (a+b)(a-b)=a2-b2

を使います。この問題の場合,上の式に

a=\sqrt{3},b=\sqrt{2}

と代入しておくことができるので,

(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})
=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}
=3-2=1

と,あっさりした答えになります。

(3)の問題では,乗法公式の

  • (a-b)2=a2+2ab+b2

を使って解きます。a=\sqrt{5},b=\sqrt{3}とすると

(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5} \times \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}
=5+2\sqrt{5 \times 3}+3
=8+2\sqrt{15}

となります。

答案

(1)

\sqrt{2}(1+\sqrt{2})
=\sqrt{2} \times 1+ \sqrt{2} \times \sqrt{2}
=\sqrt{2}+2・・・(答え)

(2)

(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})
=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}
=3-2=1・・・(答え)

(3)

(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5} \times \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}
=5+2\sqrt{5 \times 3}+3
=8+2\sqrt{15}・・・(答え)







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