中学 数学

根号を含む式の値

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例題

x=\sqrt{3}+\sqrt{2},y=\sqrt{3}-\sqrt{2}のとき,以下の式の値を求めなさい。

(1)x2+2xy+y2
(2)x2-y2
(3)x2+xy

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どうやって計算するか

kokuban普通に代入しても,もちろん解けます。ただ,(1)を見たら分かるように,(長い2乗の展開公式)+(わずらわしい掛け算)+(長い2乗の展開公式)・・・・。これ,見るだけで計算ミスしそうではないでしょうか?

大概の場合,学校では展開の乗法公式や分配法則を使った平方根を学習した後で本問を学習します。となると何を使うのか?因数分解くさいですね。当たりです。

解説・解法

(1)では,パッと見で,因数分解の公式

  • x2+2xy+y2=(x+y)2

これが使えそうですね。

(x^{2}+2xy+y^{2})
=(x+y)^{2}
=\{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})\}^{2}
=(2\sqrt{3})^{2}
=12

(2)これも,因数分解の公式

  • x2-y2=(x+y)(x-y)

が使えますので,使えるものは積極的に使っていきましょう。

x^{2}-y^{2}
=(x+y)(x-y)
=\{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})\}\{(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\}
=2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2}
=6\sqrt{6}

(3)これは普通に計算してもいいですが,カッコでくくり出してx2+xy=x(x+y)として計算してみましょう。

x^{2}+xy
=x(x+y)
=(\sqrt{3}+\sqrt{2})\{(\sqrt{3}+\sqrt{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})\}
=(\sqrt{3}+\sqrt{2})\times 2\sqrt{3}
=\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}+ \sqrt{2} \times 2\sqrt{3}
=6+2\sqrt{6}

答案

(1)

(x^{2}+2xy+y^{2})
=(x+y)^{2}
=\{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})\}^{2}
=(2\sqrt{3})^{2}
=12・・・(答え)

(2)

x^{2}-y^{2}
=(x+y)(x-y)
=\{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})\}\{(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\}
=2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2}
=6\sqrt{6}・・・(答え)

(3)

x^{2}+xy
=x(x+y)
=(\sqrt{3}+\sqrt{2})\{(\sqrt{3}+\sqrt{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})\}
=(\sqrt{3}+\sqrt{2})\times 2\sqrt{3}
=6+2\sqrt{6}・・・(答え)

 







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