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平方根(ルート)の中に入ったnの個数を求める

公開日: : 中学, 数学

例題

nを自然数として,以下の(1),(2)に答えなさい。

(1)2 < \sqrt{n} < 3を満たすnの値は何個あるか求めなさい。
(2)3.5 < \sqrt{n} < 4を満たすnの値をすべて求めなさい。

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ルートの中に入った数を不等式で表す

wb平方根の近似値」でも少し触れましたが,ルートが付いた値を不等式で表すことに慣れましょう。

  1. 1<2<4  をそれぞれ2乗の形で表すと(2は2乗の形で表せないので強引に\sqrt{2})
  2. 12(\sqrt{2})^{2}<22  それぞれルートを取って
  3. 1<(\sqrt{2})<2

こんな感じです。1.→3.の順で考え方をつかみ,実際の問題は3.→1.のパターンに落とし込むことが多いです。

解説・解法

(1)上記の3.→1をたどっていきます。(「ルートを取る」の逆)それぞれ2乗すると,

22<n<32
3<n<9

となるので,これを満たすnは,n=4,5,6,7,8の5個ということになります。

(2)これも1と同じ方法で,それぞれ2乗すると,(3.5)2=3.5×3.5=12.25より

(3.5)2<n<4
12.25<n<16

これを満たすnは,n=13,14,15となります。

答案

(1)それぞれ2乗すると

22<n<32
3<n<9

よって,不等式を満たすnはn=4,5,6,7,8の5個・・・(答え)

(2)それぞれ2乗すると

(3.5)2<n<4
12.25<n<16

これを満たすnは,n=13,14,15・・・(答え)

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