中学 数学

ルートの整数部分と小数部分

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例題

\sqrt{5}の小数部分をaとするとき,次の値を求めなさい。

(1)a
(2)a2+4a

整数部分・小数部分って何だ?

「整数部分」「小数部分」が聞きなれない用語かもしれませんが,ある数の「整数部分」とは整数の部分「小数部分」とは小数点以下の部分ってことです。
たとえば1.5の整数部分は1,小数部分は0.5,という具合です。
円周率π=3.1415・・・の整数部分が3だから,小数部分は0.1415・・・という感じです。

でも円周率πは厳密に言えば,3.1415・・・の後にも延々と続きますから(無理数),「小数部分ってどうやって表すの?」という疑問が出てきます。シンプルに疑問を解決しましょう。

整数部分+小数部分=もとの数  ←整数部分を移項して
小数部分=もとの数-整数部分

と表せるわけです。だからπの小数部分は

(πの小数部分)=(もとの数)-(整数部分)
(πの小数部分)=π-3

と表せるわけです。

解説・解法

(1)\sqrt{4}=2,\sqrt{9}=3より,\sqrt{5}は2以上3未満の数ということが分かります。2.○○・・・

ということは,\sqrt{5}の整数部分は2,小数部分は\sqrt{5}-2ということが分かりますね。

(2)aの具体的な数が分かったら,乗法公式・分配法則の問題に落としこむことが出来ます。

また,問題によっては「2乗するのが面倒だな」・・・と思うものがあります。因数分解するとうまくいく場合があります。とりあえず共通因数aでくくり出してみましょう。

a2+4a
=a(a+4)
=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2+4)
=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)
=(\sqrt{5})^{2}-2^{2}
=5-4=1

答案

(1)2<\sqrt{5}<3より,

a=\sqrt{5}-2・・・(答え)

(2)

a2+4a
=a(a+4)
=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2+4)
=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)
=(\sqrt{5})^{2}-2^{2}
=1・・・(答え)







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