中学 数学

2次方程式の解き方(平方完成の仕方)

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例題

以下の式のa,bにあてはまる数を書きなさい。

(1) x2+4x+a=(x+b)2
(2) x2-8x+a=(x-b)2
(3) x2+3x+a=(x+b)2

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解説・解法

この問題は後々,2次方程式の「平方完成を使って解く」解き方をするときの準備なのですが,展開の乗法公式を習ったときの

  • (x+a)2=x2+2ax+a2
  • (x-a)2=x2-2ax+a2

を思い出しましょう。

(1)右辺の(x+b)2を展開して

x2+4x+a=x2+2bx+b2

xの係数に着目すると,

4=2b よって b=2

定数項(x2もxもない項)に着目して

a=b2
a=22
a=4

(2)右辺の(x+b)2を展開して

x2-8x+a=x2-2bx+b2

1つ解いた後だと,なんとなくbに入れるものが見えてきませんか?-8=-2bより,b=4,そしてそのbを2乗すればa=16,という風に。この考えを応用して後々平方完成の2次方程式を解くので,スピーディーに「目で解く」ことに慣れておきましょう。

(3)じゃあこれも同じように・・・

x2+3x+a=(x+b)2
x2+3x+a=x2+2bx+b2

って,あれ?もしかしてbって2で割ったら分数になるんじゃね?なんか計算間違えた?と一回疑心暗鬼にさせるのがこの問題の意図というかなんというか。

でもこれでいいんです。計算も間違ってませんよ。

3=2bより,b=\frac{3}{2}

a=b2より,a=(\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}

となります。

まとめると(平方完成)

x2+△x+a=(x+b)2

という式を完成するとしたら,bに入るのは「△の半分」,aに入るのは「bの2乗」つまり「(△の半分)2」ということです。平方の形に持っていくことを平方完成といい,ゆくゆく2次方程式を解くときに役立つのでこのやり方は覚えておきましょう。

答案

(1)

x2+4x+a=x2+2bx+b2

2b=4よりb=2,a=b2=4  (答え)a=4,b=2

(2)

x2-8x+a=x2-2bx+b2

-2b=-8よりb=4,a=b2=16  (答え)a=16,b=4

(3)

x2+3x+a=x2+2bx+b2

2b=3よりb=\frac{3}{2}a=b^{2}=\frac{9}{4}  (答え)a=\frac{9}{4},b=\frac{3}{2}







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