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2次方程式の解き方(平方完成)

公開日: : 中学, 数学

例題

以下の2次方程式を解きなさい。

(1)x2-2x-1=0
(2)x2-3x+1=0

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解説・解法

(1)これまで平方根の形で解いてきた2次方程式ですが,ここからどうやって平方根の形に持っていけと?と言いたくなりますが,まあとりあえず,やってみましょう。定数項(数字だけの1)これを右辺に移項してあげて,

x2-2x=1

ここから!平方完成をフル活用します。左辺のx2-2xを無理やり(x-△)2に持っていきます。

 x2-2x+□=1+□

平方完成をマスターされた方は,xの係数-2の半分の2乗が□に入る数字!とお分かり頂けると思います。ということで,□には1が入り,

x2-2x+1=1+1
x2-2x+1=2
(x-1)2=2

あとは平方根の形の式で解けますね。

x-1=\pm\sqrt{2}
x=1\pm\sqrt{2}

これが方程式の解になります。

(2)平方完成を学習してきた方にとっちゃ,xの係数が奇数だと何だかゾッとしませんか・・・。とりあえず,(1)と同じ容量で,数字だけ右辺に移項させてしまいます。

x2-3x=-1

で,また

x2-3x+□=-1+□

で□に入る数は何だ?を求めるわけです。そう,□に入るのはxの係数,-3を半分にして2乗したもの,\frac{9}{4}が入るわけです。

x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}
(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{4}
x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}
x=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}
x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}

答案

(1)

x2-2x=1
x2-2x+1=2
(x-1)2=2
x-1=\pm\sqrt{2}
x=1\pm\sqrt{2}・・・(答え)

(2)

x2-3x=-1
x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}
(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{4}
x=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}
x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}・・・(答え)

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