2次方程式の因数分解での解き方

例題

次の2次方程式を解きなさい。

(1) (x-2)(x+3)=0
(2) x²-6x-8=0
(3) x²=16
(4) x²-4x+4=0

AB=0ならばA=0またはB=0

一般に

AB=0のとき，A=0　または　B=0

が成り立ちます。AB=0の形でA=0のとき，AB=0になりますし，B=0のときでもAB=0になりますね。これを応用しましょう。

解説・解法

(1)上の考えを利用して

(x-2)(x+3)=0　のとき　x-2=0　または　x+3=0

この2つの方程式を解いて

x=2，x=-3

この2つが2次方程式の解になります。

(2)式の形を見たときに「えっ？また解の公式使うの？」と思う方もいるかもしれませんが，解の公式を使わずとも，左辺を因数分解してみてください。

x²-6x-8=(x-2)(x-3)

ですので，x-2=0　または　x-3=0　となり，これらを解いて

x=2，3

がこの2次方程式の解となります。

(3)式の形を見て「これって平方根の解き方じゃん！ルート取って，x=プラマイ4！」と思う方もいるかもしれません。それで合っています。ただ，これ，右辺の16を左辺に持っていっても解けるんですよ。

x²=16
x²-16=0
(x+4)(x-4)=0　x=±4

(4)これも，乗法公式の逆バージョンの因数分解を使えば解けそうですね。

x²-4x+4=0
(x-2)²=0　x=2

って，あれっ？　2次方程式って今まで解が2個あったのに，1個しか解がない？！それでいいの？・・・それでいいんです。

(x-2)²=0
(x-2)(x-2)=0　よって　x=2，x=2

と，解が重なっていますよね。普段は解が2つある2次方程式で，1つしかない(重なっている)場合の解を，重解と言います。

答案

(1)

(x-2)(x+3)=0　より　x=2，-3・・・(答え)

(2)

x²-6x-8=0
(x-2)(x-3)=0　より　x=2，3・・・（答え）

(3)

x²-16=0
(x+4)(x-4)=0　より　x=±4・・・(答え)

(4)

x²-4x+4=0
(x-2)²=0　より　x=2・・・(答え)