中学 数学

2次方程式の因数分解での解き方

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例題

次の2次方程式を解きなさい。

(1) (x-2)(x+3)=0
(2) x2-6x-8=0
(3) x2=16
(4) x2-4x+4=0

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AB=0ならばA=0またはB=0

一般に

AB=0のとき,A=0 または B=0

が成り立ちます。AB=0の形でA=0のとき,AB=0になりますし,B=0のときでもAB=0になりますね。これを応用しましょう。

解説・解法

(1)上の考えを利用して

(x-2)(x+3)=0 のとき x-2=0 または x+3=0

この2つの方程式を解いて

x=2,x=-3

この2つが2次方程式の解になります。

(2)式の形を見たときに「えっ?また解の公式使うの?」と思う方もいるかもしれませんが,解の公式を使わずとも,左辺を因数分解してみてください。

x2-6x-8=(x-2)(x-3)

ですので,x-2=0 または x-3=0 となり,これらを解いて

x=2,3

がこの2次方程式の解となります。

(3)式の形を見て「これって平方根の解き方じゃん!ルート取って,x=プラマイ4!」と思う方もいるかもしれません。それで合っています。ただ,これ,右辺の16を左辺に持っていっても解けるんですよ。

x2=16
x2-16=0
(x+4)(x-4)=0 x=±4

(4)これも,乗法公式の逆バージョンの因数分解を使えば解けそうですね。

x2-4x+4=0
(x-2)2=0 x=2

って,あれっ? 2次方程式って今まで解が2個あったのに,1個しか解がない?!それでいいの?・・・それでいいんです。

(x-2)2=0
(x-2)(x-2)=0 よって x=2,x=2

と,解が重なっていますよね。普段は解が2つある2次方程式で,1つしかない(重なっている)場合の解を,重解と言います。

答案

(1)

(x-2)(x+3)=0 より x=2,-3・・・(答え)

(2)

x2-6x-8=0
(x-2)(x-3)=0 より x=2,3・・・(答え)

(3)

x2-16=0
(x+4)(x-4)=0 より x=±4・・・(答え)

(4)

x2-4x+4=0
(x-2)2=0 より x=2・・・(答え)







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