中学 数学

2次方程式の文章問題(連続した3つの整数)

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例題

3つの連続した整数があります。それぞれの整数を2乗した和は245です。このとき,3つの連続した整数を求めなさい。

何をxとするか?

2次方程式の分野の中で初めての「文章題」に入りました。文章題と言えば「求めるものをxとおく」と大概はうまくいきそうです。なので「3つの連続した整数をxとすると・・・」と書き出したら・・・後が書けません。

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過去にも「式の展開の文章題」でやりましたが3つの連続した整数のうち,1つの整数に着目しましょう。たとえば一番小さい数の場合

1,2,3だったら・・・

  • 真ん中の2は,一番小さい1に1足している。
  • 一番大きい3は,一番小さい1に2足している。

一番小さい数がxの場合は・・・

  • 真ん中の数は,一番小さい数xに1足しているからx+1。
  • 一番大きい数は,一番小さい数xに2足しているからx+2。

という具合で,真ん中の数はx+1,一番大きい数はx+2とおくことができます。これで先に進めますね。

解説・解法

これで,それぞれを2乗して和を求める準備ができました。それぞれを2乗した和で2次方程式を作り,乗法公式を使って展開しましょう。

x2+(x+1)2+(x+2)2=245
x2+(x2+2x+1)+(x2+4x+4)=245

式をまとめて,右辺の数字を移項して,x2の係数3で割りましょう。最後に因数分解できますから

3x2+6x+5=245
3x2+6x-240=0
x2+2x-80=0
(x+10)(x-8)=0
x=-10,x=8

おっしゃ出た!-10と8!終わり!じゃ、ダメです。「3つの連続した整数を求めなさい」ですので,

  • -10が一番小さい数のときは,そこから1ずつ増えた3つの整数を求めるので,答えは-10,-9,-8
  • 8が一番小さい整数のときは,そこから1ずつ増えた3つの整数を求めるので,答えは8,9,10

です。

答案

連続した3つの整数のうち,一番小さい数をxとおくと,

x2+(x+1)2+(x+2)2=245
3x2+6x-240=0
x2+2x-80=0
(x+10)(x-8)=0
x=-10,x=8

x=-10のとき,連続した3つの整数は-10,-9,-8となり,x=8のとき,連続した3つの整数は8,9,10となる

(答え)-10,9,-8と8,9,10

 







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