中学 数学

2次方程式の文章題(土地の面積)

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例題

図のような,縦20m,横24mの長方形の形をした土地があります。 tochi この土地から,縦・横同じ幅の道を作り,道以外は花壇にする予定です。花壇の面積を357m2にするとき,道の幅を何mにすれば良いですか?

解説・解法

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この問題の考え方ですが,まず「道の幅を何mとすれば良いか?」聞かれているので,その聞かれている道幅をxmとしましょう。 また,道の面積を出してあげる必要がありますね。道以外は花壇であることを利用して

[1]道の面積を求める

(道の面積)=(土地の面積)-(花壇の面積) (道の面積)=24×20-357=123m2

[2]縦の道の面積を求める

道の縦のラインは・・・(黄色で|字型になっている部分)の面積は,

(縦の道の面積)=(土地の縦幅)×(道幅)=20×x=20xm2

[3]横の道の面積を求める

同じように,土地の横のライン(黄色で―字型になっている部分)の面積は,

(横の道の面積)(土地の横幅)×(道幅)=24×x=24xm2

[4]道と道が重なった部分の面積を求める

縦の道と横の道がクロスする部分がありますね。少しだけ黄色を濃くして表示してあります。この部分の面積は

(縦と横の道が重なった部分の面積)=x×x= x2m2

まとめると

横の道の面積と縦の道の面積を足すと,クロスした部分はダブってしまいますので,そこを引いてあげます。。

[2]横の道の面積+[3]縦の道の面積+[4]重なった部分の面積=[1]道の面積 となりますので

20x+24x-x2=123
x2-44x+123=0
(x-3)(x-41)=0

なんでこれが一瞬で因数分解できたの?と思うかもしれませんが,「3の倍数の見分け方」を思い出してください。123のそれぞれの位を足していくと1+2+3=6で3の倍数なので,123は3で割れますね。素因数分解すると123=3×41なので,上記のような因数分解ができるんです。

最後に「xの確かめ」をしてあげましょう。x=3のときはOKそうですが,x=41のときは・・・土地の縦幅よりも大きくなってしまいますよね。土地の縦の長さより大きい道なんてないわけですから,このときはダメですよ,と答案に書いてあげましょう。

答案

道幅をxmとすると,

20x+24x-x2=20×24-357
x2-44x+123=0
(x-3)(x-41)=0
x=3,x=41

x=41のとき,(土地の縦の長さ)<(道の幅)となり不適。したがってx=3

(答え)3m







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