中学 数学

2次方程式の文章題(四隅を切り取り箱を作る)

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例題

横の長さが,縦よりも5cm長い長方形の紙があります。この紙の四隅から一辺4cmの長方形を切り取って直方体の箱を作ると,容積は816cm2になりました。

このとき,もとの紙の縦の長さと横の長さを求めなさい。

 解法・解説(汚い図入りだよ!)

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汚い図&工作が苦手なのでそこはご容赦ください。まず紙を用意します。「縦の長さを横の長さを求めろ」なので,縦と横どっちかをxにしましょう。今回は縦の長さをxcmとして,横の長さは縦より5cm長いので,(x+5)cm。

hako1

そこから,四隅を切り取るので,4cmの正方形を左上・右上・左下・右下に作ります。4cmずつ。

hako2

そうすると,箱の概形が見えてきますね?点線部分が箱の底面になります。横の底面はxcmから4cmを2個切り取るので,(x-8)cm,縦の底面は(x+5)cmから4cmを2個切り取るので,(x+5-8)=(x-3)cmになります。

hako3

折り曲げて完成。箱の高さ=折り曲げた部分の4cmになったということに気づきましたでしょうか?

hako4

以上から,箱の容積について式が作れますね。

(箱の縦の長さ)×(箱の横の長さ)×(箱の高さ)=(容積)
(x-8)(x-3)×4=816
(x-8)(x-3)=204
x2-11x+24=204
x2-11x-180=0
(x-20)(x+9)=0
x=20,-9  x>0より x=20

となるわけです。(横の長さ)=(縦の長さ)+5cmより25cm。

答案

紙の縦の長さをxcmとすると,横の長さを(x+5)cm,箱の底面はそれぞれ(x-8)cm,(x-3)cm,高さは4cmだから

(x-8)(x-3)×4=816
x2-11x+24=204
x2-11x-180=0
(x-20)(x+9)=0
x=20,-9
x>0より,x=20

(答え)縦の長さ20cm,横の長さ25cm







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