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自然数の集合の個数(数学A)

公開日: : 最終更新日:2015/04/07 数学, 高校

例題

1から50までの自然数で,次を満たすものの個数を求めよ.

(1)5で割って1余る数
(2)3または4の少なくとも一方で割り切れる数

解説・解法

(1)チンプンカンプン・・・という方向けに,1,2,3・・・と余りを数えていきましょう。

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  • 1÷5=0・・・1(・・・は「あまり」の代わりに使います。懐かしい。)
  • 2÷5=0・・・2
  • 3÷5=0・・・3
  • 4÷5=0・・・4
  • 5÷5=1・・・0
  • 6÷5=1・・・1

この中で2個ありましたね。1と6。1個~2個と延々数えて行っても良いのですが,これを50まで続けると手がはちきれそうになるので,今度は最後から数えていきましょう。

  • 50÷5=10・・・0
  • 49÷5=9・・・4
  • 48÷5=9・・・3
  • 47÷5=9・・・2
  • 46÷5=9・・・1

ということは,5で割った数が1になる数で一番最後は46。商は9のときですね。一番最初は商が0のときでした。まとめると,

商が0のとき,1のとき,2のとき,・・・9のときなので,0・1・2・3・・・9の10個です。

(2)まず,3で割り切れるの集合をAとし,Aの個数をn(A)として探していきましょう。

50は3で割り切れませんので,49・48・・・と数字を1つずつ下げていくと,50に一番近いのは48(3×16)です。

A=3,6,9,・・・,48で,n(A)=16

4で割り切れる数の集合をBとし,Bの個数をn(B)としましょう。50を4で割った数字を1つずつ下げていくと,これも50に一番近いのは48(4×12)です。つまり,

Bは4,8,12,・・・48で,n(B)=12

じゃあ求める数はn(A)+n(B)でいいか?というと違います・・。

A=3,6,9,12,15,18,21,24,27,・・・
B=4,8,12,16,20,24,28,・・・

そう,12の倍数がA∩Bとして,n(A)+n(B)を数えた時にダブルカウントしているところです。12の倍数が12,24,36,48の4個なので,n(A∩B)=4

ということで,求める数は

n(A)+n(B)-n(A∩B)=16+12-4=24個

答案

(1)求める個数は

1,6,11,・・・,46の10個・・・(答え)

(2)3で割り切れるものの個数をn(A),4で割り切れるものの個数をn(B)とする,n(A)=16,n(B)=12,n(A∩B)=4より,

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=16+12-4=24個・・・(答え)

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