*

自然数の集合の個数(数学A)

公開日: : 最終更新日:2015/04/07 数学, 高校

例題

1から50までの自然数で,次を満たすものの個数を求めよ.

(1)5で割って1余る数
(2)3または4の少なくとも一方で割り切れる数

解説・解法

(1)チンプンカンプン・・・という方向けに,1,2,3・・・と余りを数えていきましょう。

スポンサードリンク
  • 1÷5=0・・・1(・・・は「あまり」の代わりに使います。懐かしい。)
  • 2÷5=0・・・2
  • 3÷5=0・・・3
  • 4÷5=0・・・4
  • 5÷5=1・・・0
  • 6÷5=1・・・1

この中で2個ありましたね。1と6。1個~2個と延々数えて行っても良いのですが,これを50まで続けると手がはちきれそうになるので,今度は最後から数えていきましょう。

  • 50÷5=10・・・0
  • 49÷5=9・・・4
  • 48÷5=9・・・3
  • 47÷5=9・・・2
  • 46÷5=9・・・1

ということは,5で割った数が1になる数で一番最後は46。商は9のときですね。一番最初は商が0のときでした。まとめると,

商が0のとき,1のとき,2のとき,・・・9のときなので,0・1・2・3・・・9の10個です。

(2)まず,3で割り切れるの集合をAとし,Aの個数をn(A)として探していきましょう。

50は3で割り切れませんので,49・48・・・と数字を1つずつ下げていくと,50に一番近いのは48(3×16)です。

A=3,6,9,・・・,48で,n(A)=16

4で割り切れる数の集合をBとし,Bの個数をn(B)としましょう。50を4で割った数字を1つずつ下げていくと,これも50に一番近いのは48(4×12)です。つまり,

Bは4,8,12,・・・48で,n(B)=12

じゃあ求める数はn(A)+n(B)でいいか?というと違います・・。

A=3,6,9,12,15,18,21,24,27,・・・
B=4,8,12,16,20,24,28,・・・

そう,12の倍数がA∩Bとして,n(A)+n(B)を数えた時にダブルカウントしているところです。12の倍数が12,24,36,48の4個なので,n(A∩B)=4

ということで,求める数は

n(A)+n(B)-n(A∩B)=16+12-4=24個

答案

(1)求める個数は

1,6,11,・・・,46の10個・・・(答え)

(2)3で割り切れるものの個数をn(A),4で割り切れるものの個数をn(B)とする,n(A)=16,n(B)=12,n(A∩B)=4より,

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=16+12-4=24個・・・(答え)

関連記事

文字式による説明(3の倍数の見分け方の証明)

例題 3けたの自然数Aがあり,その百の位,十の位,一の位の和が3の倍数ならば,Aは3の倍数である。

記事を読む

多項式の乗法(展開)

例題 次の式を展開しなさい。 (1)(a+b)(c+d) (2)(2a-3b)(a+4b)

記事を読む

2016年センター試験 数学1・A解説 第2問[2]データの分析

第1問の3つと、第2問のまで行ったところで、第2問の[2][3]は連続して「データの分析」が出題され

記事を読む

2016年センター試験 数学1・A解説 第3問 確率

2016年のセンター試験数学1Aは、第1問・第2問が必須問題で、第3問~第5問が選択問題です。第3問

記事を読む

1次関数のグラフの書き方(切片について)

例題 1次関数y=2x+1について,以下の(1),(2)に答えなさい。 (1)y=2xとy=

記事を読む

相似の証明(2つの正三角形と共通な角)

例題 下図で,△ABCと△ADEは正三角形であり,頂点Cは辺DE上にあるとします。このとき,△AB

記事を読む

ルートの中が自然数の2乗になるn(分数編)

例題 nを自然数とする。\frac{\sqrt{450n}}{2}[/math]が自然数となるよう

記事を読む

計算

因数分解(乗法公式の逆を使う)

例題 次の式を因数分解しなさい。 (1)x2-1 (2)x2+6x+9 (3)2x2-20x

記事を読む

2次方程式の文章問題(連続した3つの整数)

例題 3つの連続した整数があります。それぞれの整数を2乗した和は245です。このとき,3つの連続し

記事を読む

連立方程式文章題(池の周りを歩く)

例題 1周700mの池の周りをAさんとBさんが同じ地点から同時に出発して,それぞれ反対方向に歩くと

記事を読む

Message

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA


2017年度のマーク模試月別まとめ(センター試験対策)

各予備校から、年間のマーク模試ラインナップが揃ったようなので、自分用メ

2017センター試験英語解説 第2問B(find/suggest/how come)

Aパートに引き続き、2017年センター試験英語、第2問Bの解説です。第

2017センター試験英語解説 第2問A(後半)【フェスでウェイ】

2017年のセンター試験英語、問2Aパートの解説です。前半の問1~問5

2017センター試験英語解説 第2問A(前半)

2017年のセンター試験英語、第2問の解説を。第2問のAパートは文法語

2017センター試験(本試)英語 超ざっくり解説

2017年のセンター試験、問題が出ました。ので、英語の解説を「超ざっく

→もっと見る

PAGE TOP ↑