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式による説明(百の位と一の位を入れ替えて99の倍数)

公開日: : 中学, 数学

例題

1の位が0でない3けたの自然数がある。この数と,百の位と一の位を入れ替えて出来る数との差は99の倍数である。このわけを,文字を使って説明しなさい。

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例えば

たとえば752の場合,百の位と一の位を入れ替えると257になりますので,

752-257=495

この495を99で割ると,

495÷99=5

となり,99で割り切れます。

解説・解法

2けたの自然数,十の位と一の位の問題で一度解いたことがあるかもしれませんが,おさらいの意味合いでもう一度やっておきましょう。

「2けたの自然数」の問題と同様に,百の位の数をa,十の位の数をb,一の位の数をcとすると,3けたの自然数は

(漢字で読むと)a百b十c
=100a+10b+c ・・・①

入れ替えた数は

(漢字で読むと)c百b十a
=100c+10b+a ・・・②

①-②を計算すると

100a+10b+c-(100c+10b+a)
=99a-99c
=99(a-c)

となりますので,99となり,あとは問題文を繰り返してかけば,説明完了です。

答案

3けたの数の百の位をa,十の位をb,一の位をcとすると,もとの数は

100a+10b+c

入れ替えた数は

100c+10b+a

これらの差は

100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)

a-cは整数だから,99(a-c)は99の倍数。したがって,3けたの整数とその百の位と一の位を入れ替えてできる数は99の倍数になる。

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