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文字式の利用(面積を求める問題)

公開日: : 最終更新日:2014/05/24 中学, 数学

例題

下図の長方形ABCDについて,点Pは辺CDの中点で,点Qは辺BCを3等分する点のうち,Cに近い方の点とする。

abcd-sq

辺ABの長さをx,辺BCの長さをyとするとき,影をつけた部分の面積をx,yで表しなさい。

解説・解法

影を付けた部分の面積=長方形ABCDの面積-△PQCの面積

と考えて求めましょう。

(長方形の面積)=(辺ABの長さ)×(辺BCの長さ)=xy

△PQCの面積をちょっと慎重に求めましょう。PCは辺CDの中点なので,PCの長さはCDの長さ(=辺ABの長さ=x)の半分なので,

PC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}x

QCの長さは,辺BCの長さの3分の1なので,

QC=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}y

したがって,底辺をQC,高さをPCと見て,△PQCの面積は,

△PQC=QC \times PC \times \frac{1}{2}
=\frac{1}{3}y \times \frac{1}{2}x \times \frac{1}{2}
=\frac{1}{12}xy

求める面積は,

(長方形の面積)-(△PQCの面積)
=xy-\frac{1}{12}xy
=\frac{11}{12}xy

答案

求める面積は,(長方形の面積)-(△PQCの面積)より

xy-\frac{1}{3}y \times \frac{1}{2}x \times \frac{1}{2}
=\frac{11}{12}xy

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