中学 数学

「2乗に比例する関数」とは

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例題

次の(1)~(4)について,yをxの式で表しなさい。また,yがxの2乗に比例するものをすべて選びなさい。

(1)底面が一辺2cmの正方形で,高さがxcmの直方体の体積ycm3
(2)底面が一辺xcmの正方形で,高さが2cmの直方体の体積ycm3
(3)半径xcmの円の円周の長さycm
(4)半径xcmの円の面積ycm2

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「yがxの2乗に比例する」とは?

「yがxの2乗に比例する」関数とは

y=ax2 (aは定数)

と表されるものです。「yがxに比例する」場合,y=axと表せましたね。それのxがx2と置き換わったと考えましょう。

解説・解法

面積や体積などの公式を思い出しながら,それぞれ当てはめていってみましょう。

(1)直方体の体積の求め方は

(直方体の体積)=(底面積)×(高さ)

(体積)=y,底面は一辺が2cmの正方形ですので,(底面積)=2cm×2cm=4cm2,(高さ)=xcm,これを代入すれば

y=4x

という比例の式(1次関数の式)になります。

(2)直方体の体積の公式は(1)をそのまま使えば良いですね。(体積)=yで(底面積)=x×x=x2cm2,(高さ)=2cmなので

y=2x2

となります。これ,2が定数になっている,「xの2乗に比例する関数」でしたよね。

(3)(円周の長さ)=(直径)×(円周率)で表されます。(円周の長さ)=y,(直径)=(半径)×2=2x,円周率=πより

y=2πx

となり,これも比例の式(1次関数の式)ですね。

(4)(円の面積)=(半径)×(半径)×(円周率)で,(面積)=y,(半径)=x,円周率=πより

y=πx2

これもπを定数とした「xの2上に比例する関数」になっていますね。

答案(答えのみ)

(1)y=4x

(2)y=2x2

(3)y=2πx

(4)y=πx2

したがって,xの2乗に比例しているものは(2)と(4)







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