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文字について解く(円柱・円錐の体積)

公開日: : 中学, 数学

例題

円周率をπとするとき,次の(1),(2)について,Vをπ,r,hの式で表し,それぞれhについて解きなさい。

(1)底面の半径がrcm,高さがhcmの円柱の体積Vcm3
(2)底面の半径がrcm,高さがhcmの円錐の体積Vcm3

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解説・解法

(1)円柱(に限らず○○柱と呼ばれるもの)の体積は,以下の公式で求められました。

(体積)=(底面積)×(高さ)

底面は円ですので,底面積は円の面積

(面積)=(半径)×(半径)×(円周率)

で求められます。つまり,

(体積)=(半径)×(半径)×(円周率)×(高さ)

体積がV,半径がr,円周率がπ,高さがhなので,

V=r×r×π×h
V=πr2h

 という風に求められます。今度はこれをhという文字について解いていきましょう。解くべき文字を左辺に持っていった方がやりやすので,左辺と右辺を入れ替えます。

πr2h=V

あとは,解くべき文字(今回の場合h)の周りに係数や文字が付いている場合,その逆数をかけてあげます。hについているのはπr2ですので,その逆数をかけます。

\pi r^{2}h \times \frac{1}{\pi r^{2}}=V \times \frac{1}{\pi r^{2}}
h=\frac{V}{\pi r^{2}}

これで「hについて解いた」ことになります。

(2)円錐の体積は,円柱の体積に\frac{1}{3}をかけたものですので

V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h

となり,これをhについて解くときも,まずhのある方を左辺に持っていきましょう。

\frac{1}{3}\pi r^{2}h=V

で,解く文字の係数に分数が含まれているときは,分数から逆数をかけていきます。

\frac{1}{3}\pi r^{2}h \times 3=V \times 3
\pi r^{2}h=3V

そしたらあとは同じようにπr2の逆数をかけて,完了です。

\pi r^{2}h \times \frac{1}{\pi r^{2}}=3V \times \frac{1}{\pi r^{2}}
h=\frac{3V}{\pi r^{2}}

 答案(答えのみ)

(1)V=πr2h,h=\frac{V}{\pi r^{2}}

(2)V=\frac{1}{3}\pi r^{2}hh=\frac{3V}{\pi r^{2}}

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