中学 数学

関数y=ax2乗の変域の求め方

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例題

関数y=2x2について,xの変域が以下の(1),(2)の場合であるとき,yの変域それぞれを求めなさい。

(1)-3≦x≦-1
(2)-2≦x≦3

解説・解法

関数y=ax2と変域の問題も,かなりの頻度で定期テストで出題される分野だと思います。グラフの概形さえつかめていれば難しくない問題なので,抑えておいたほうが良いでしょう。さて,問題の解き方ですが,グラフに書いてしまったら早いかもしれません。

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y=2x^2のグラフ(-3≦x≦-1)

y=2x2のグラフを点線で,さらに同じグラフの-3≦x≦-1の部分を青線にしてあります。求めるのはyの変域なので,上下がどこまで変化しているか見てみましょう。

xが一番小さいとき,つまりx=-3のときは,

y=2×(-3)2=18

xが一番大きいとき,つまりx=-1のときは,

y=2×(-1)2=2

グラフを見れば,18から2まで一本調子で下がっていっていますので,yの最大値が18,最小値は2だと分かりますね。したがって,この場合のyの変域は2≦y≦18になるのです。

(2)(1)のときと同じ要領で,グラフを描いてみましょう。

heniki2

y=2x2のグラフを点線で,さらに同じグラフの-2≦x≦3の部分を赤線で描きました。

y(上下の高さ)がどこからどうなっているか,少し(1)とは勝手が違うことに気づきましたか?yが一番大きいところはx=3のときで,このとき,

y=2×32=18

となるのですが,最小値はxが一番小さいとき(x=-2)なのでしょうか?違いそうじゃないですか?yの値の変化を見てみると

  • x=-2→x=0になるにつれて段々小さくなっていく,x=0のときがピークで原点(0,0)
  • x=0→x=3になるにつれて段々大きくなっていく,x=3で止まる

ということで,最小値はx=0のときなのです。このときy=0となりますね。したがって,変域は0≦y≦18となります。

まとめると

xの変域がプラスマイナス逆転するときは,y=ax2の最大値,または最小値のどちらかが0になる

と,覚えておきましょう。

答案

(1)-3≦x≦-1の範囲では,xが増加するにしたがってyは減少する。

x=-3のとき,y=2×(-3)2=18
x=-1のとき,y=2×(-1)2=2より,yの変域は2≦y≦18

(答え)2≦y≦18

(2)-2≦x≦3の範囲で,yの最大値は,x=3のとき,

y=2×32=18

最小値はx=0のときy=0だから,yの変域は0≦y≦18

(答え)0≦y≦18







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