中学 数学

関数y=ax2乗で変域からaの値を求める

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例題

関数y=ax2について,xの変域が-2≦x≦4のとき,yの変域は0≦y≦8である。このとき,aの値を求めなさい。

解法・解説

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この問題も,解き方を知っていないと,どこから手を付けて良いか困る問題です。まず,変域を求める問題で,「関数y=ax2では,xの変域がマイナスからプラスをまたぐとき,yの変域は必ず0をまたぐ」ということを思い出してください。

yの変域が0からプラスになっているので,y=ax2は上に開いている放物線(a>0)だということを確認しましょう。

次に,xの変域が-2≦x≦4なので,

  • -2≦x≦0の範囲では,関数y=ax2は減少する一方で,
  • 0≦x≦4の範囲では,関数y=ax2は増加する一方です。

また,関数y=ax2はy軸を対称の軸にして左右対称ですので,-2と4で,xの絶対値が大きい方がyの最大値をとることも考えましょう。

試しにx=-2とx=4の両方を代入してみましょう。x=-2のときはy=4a,x=4のときはy=16aになりますね。a>0なので,x=4のときの方がx=2のときよりも大きい,と。

この場合は,x=4のとき,yは最大値になる,ということです。

したがって,問題文から「x=4のとき,y=8をとる」これが読み取れればOKなわけです。

あとは,y=ax2に,x=4,y=8を代入して計算あるのみ。aを求める計算方法は「2次関数の決定」でやりましたね(忘れてしまった方は復習しましょう)。

8=a×42
8=16a
a=\frac{1}{2}

これが,求めるaの値になります。

答案

与えられた条件より,y=ax2はx=4のとき最大値8をとるので,

8=a×42
8=16a
a=\frac{1}{2}

(答え)a=\frac{1}{2}







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