中学 数学

関数y=ax^2上の2点を通る直線の式の求め方

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例題

関数y=\frac{1}{2}x^{2}のグラフ上に,x座標が-2の点Aと,x座標が4の点Bをとります。このとき,以下の(1),(2)に答えなさい。

(1)点Aおよび点Bの座標を求めなさい。
(2)直線ABの式を求めなさい。

解説・解法

この手の問題では,誘導に従って(1)を解けば,おのずと(2)が解けるのですが,いきなり間髪入れずに(2)だけ出題してくることの方が多々あり,どちらにしても解き方に慣れておかないと苦労するかもしれません。

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まず,点Aのy座標を求めることから始めましょう。

(1)点Aのy座標は

y=\frac{1}{2}\times(-2)^{2}=2

となるので,点Aの座標は(-2,2)と分かります。同じようにして,点Bのy座標も,

y=\frac{1}{2}\times 4^{2}=8

となり,点Bの座標は(4,8)ということがわかります。

(2)(1)で得た点A,Bの座標をもとに,直線(1次関数)ABの式を求めていきましょう。2年で習った,「2点を通る1次関数の求め方」の出番です。求める直線の式を,y=ax+bとおくと,点A(-2,2)を通ることから

2=-2a+b・・・①

また,点B(4,8)を通ることから,

8=4a+b・・・②

①-②より,

-6=-6a
a=1

これを①に代入して

2=-2+b
b=4

a,bを代入して,求める直線の式は

y=x+4

となります。

答案

(1)(答えのみ)A(-2,2),B(4,8)

(2)直線の式をy=ax+bとおくと,点A(-2,2)を通るから

2=-2a+b・・・①

また,点B(4,8)を通るから

8=4a+b・・・②

①-②より,-6=-6a したがってa=1

これを①に代入して,2=-2+b よってb=4

a,bをy=ax+bに代入して,y=x+4

(答え)y=x+4

別解(裏技的?)

関数y=ax2上の2つの点B,Cがあるとして,それらのx座標がb,cだったとすると,直線BCの式は

y=a(b+c)x-abc ・・・(*)

になるのです。このことも後々で証明しようと思いますが,今は代入して触れるだけで。本問の場合,a=\frac{1}{2},b=-2,c=4なので,これをそのまま(*)式に代入してみると,

y=\frac{1}{2}(-2+4)x-\frac{1}{2}\times (-2) \times 4
y=x+4

ほら結局同じ式になるでしょう・・。スゴイ公式なのですが,記述問題でこれを書くと微妙なところなんですよ。まあ時間あったら証明しますので。







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