中学 数学

2次関数(中学)の変化の割合の公式

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例題

(1)関数y=ax2について,xの値がbからcまで増加するとき,変化の割合はa(b+c)と表せることを証明しなさい。
(2)(1)を用いて,関数y=-\frac{1}{3}x^{2}のxの値が-4から-2まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

解説・解法

y=ax2の変化の割合の中でも少し応用編というか,発展編です。教科書には載っていませんが,この公式を覚えておいたら楽に点数が取れます。でももしかすると穴埋め形式に限るのかも。定期テストなどで途中経過を書く問題では,もしかすると減点される可能性もある諸刃の剣として知っておいて下さい。

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まず,(変化の割合)=(yの増加量)/(xの増加量)の公式にしたがって,それぞれの増加量を求めてみましょう。xの増加量は,xがbからcまで増加したので,大きい方から小さい方を引いて

(xの増加量)=c-b

と表せます。また,yの値の変化については,x=bのとき,y=ab2で,x=cのとき,y=ac2と表せますので

(yの増加量)=ac2-ab2

これを,変化の割合の公式にあてはめると

(変化の割合)
=\frac{ac^{2}-ab^{2}}{c-b}
=\frac{a(c^{2}-b^{2})}{c-b}
=\frac{a(c+b)(c-b)}{c-b}
=a(b+c)

となります。実際,分母と分子を文字で約分するときは,約分する文字≠0を示さなければいけないのですが(微妙に高校数学の範囲),「xがbからcまで増加した」とありますので,(約分する文字)=c-bは必ずプラスになります。したがってc-bで約分しても問題ありません。

(2)証明できた公式に,a=-\frac{1}{3},b=-4,c=-2を代入すれば良いだけなので

(変化の割合)=-\frac{1}{3} \times (-4-2)=2

とあっさり計算できてしまいます。

答案

(1)y=ax2について,xがbからcまで増加するとき,(xの増加量)=c-b,(yの増加量)=ac2-ab2より,

(変化の割合)
=\frac{ac^{2}-ab^{2}}{c-b}
=\frac{a(c^{2}-b^{2})}{c-b}
=\frac{a(c+b)(c-b)}{c-b}
=a(b+c)

(2)(変化の割合)=-\frac{1}{3} \times (-4-2)=2

(答え)2

入試出題情報

2012(平成24)年の東京都公立高校の入試問題の計算問題に単問で取り上げられており,この公式を知っていれば比較的早く解けたのではないかと思います。







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