中学 数学

2次方程式(aとbの値を求める)

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例題

2次方程式 x2 + ax + b =0 の解がx=3,-5のとき,a,bの値を求めなさい。

解説・解法

これも地味に定期テストの連立方程式の問題でよく出るジャンルの問題です。

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2次方程式の問題で,解が2つ与えられており,a,bの2つの文字があったら,2つの解をそれぞれ代入すれば,aとbの連立方程式が作れます。

とりあえず,解(3と-5)を代入してみましょう。2次方程式にx=3を代入して

32 + a×3 + b = 0
9 + 3a + b = 0 ・・・①

また,x=-5を代入して

(-5)2 + a×(-5) + b = 0
25 - 5a + b = 0 ・・・②

aとbの文字について,式が2つ作れましたので,連立方程式(加減法)の問題に持ち込めますね。 ①-②より

9 + 3a - (25 - 5a) = 0
-16 = -8a
a = 2

これを①に代入して

9 + 3×2 + b = 0
b = -15

これでa,bの値を求めることができましたね。めでたしめでたし。なのですが,実は別解があります。2次方程式の「因数分解の解き方」を応用すればあっさり解けたりします。

たとえば「2次方程式x2-3x+2=0を解きなさい。」という問題があったらどう解きますか?左辺を因数分解して(x-2)(x-1)=0でx=2,x=1となりますね。これを逆に考えると

解がx=2,x=1の2次方程式を作る
(x-2)(x-1) = 0 これを展開して
x2-3x+2 = 0

という感じです。これ,xの係数が-3,定数項(数字だけの項)が2になります。この考えを使っていくと

解がx=3,x=-5の2次方程式を作る
(x-3)(x+5)=0 これを展開して
x2+2x-15 = 0

これが,x2 + ax + b =0 の形になるように持っていけば良いので,a=2,b=-15と比較的簡単に解けます。

答案

2次方程式x2 + ax + b =0にx=3,x=-5をそれぞれ代入して

9 + 3a + b = 0 ・・・①
25 - 5a + b = 0 ・・・②

①-②より,-16+8a=0,a=2

これを①に代入して,9+6+b=0,b=-15

(答え)a=2,b=-15

 

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