中学 数学

2次方程式(三角形と動点の文章問題)

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例題

下の図で,△ABCはAB=BC=10cm,∠ABC=90°の直角二等辺三角形である。点PはAを出発して点Bまで,点QはBを出発して点Cまでそれぞれ秒速1cmの速さで動く。

triangle

△PBQの面積が△ABCの10分の1になるのは,点PがAを出発してから何秒たったときですか?

解説・解法

2次方程式の中でも「動点の問題」は図形と融合しやすく,定期テストや実力テストでもよく出題されますし,入試問題でもそれなりに見られます。慣れてしまえば普通の1次方程式や連立方程式と同じ要領で解けてしまいますので,まずいつもの定石から。

求めるものをxとおく

点PがAを出発してからx秒後に△PBQの面積が△ABCの面積の半分になるとしましょう。印刷して図に書き込める方は,書き込んで貰えたらありがたいです。すると,AP=xcmになりますよね。AB=10cmなので,PB=AB-AP=(10-x)cmになります。

さらに,PとQが同じ速さで動くので,BQ=xcmとおけますね。これで△PBQの面積をxで表す準備は整いました。

△PBQ=PB \times BQ \times \frac{1}{2}
=(10-x) \times x \times \frac{1}{2}
=\frac{1}{2}x(10-x)

面積を求めて2次方程式を作る

さて,△PBQの面積が何cm2になれば良いのでしょうか?△ABCの半分でしたから,10×10÷2=50cm2の10分の1,つまり5cm2になれば良いということですね。

これと△PBQの面積をxで表したものから2次方程式を作ります。

\frac{1}{2}x(10-x)=5
x(10-x)=10
-x2+10x-10=0
x2-10x+10=0

ここまで来たのですが因数分解がどうも使えなさそうなので,解の公式を使って解きます。

x=\frac{10\pm\sqrt{10^{2}-4\times1\times10}}{2}
x=\frac{10\pm\sqrt{100-40}}{2}
x=\frac{10\pm\sqrt{60}}{2}
x=\frac{10\pm2\sqrt{15}}{2}
x=5\pm\sqrt{15}

あとはxの満たす条件に不具合がないかだけ確認しておきましょう。点PはAからBを動くので,0≦x≦10,この範囲内にxが収まっていれば良いということです。3<\sqrt{15}<4なので,

x=5+\sqrt{15}のときは,xは8より大きく9未満でOK,また
x=5+\sqrt{15}のときは,xは1より大きく2未満でこれもOKです。

したがって両方とも答えになります。

答案

点PがAを出発してからx秒後に△PBQの面積が△ABCの面積の半分になるとすると,

\frac{1}{2}x(10-x)=5
x2-10x+10=0
x=\frac{10\pm\sqrt{10^{2}-4\times1\times10}}{2}
x=5\pm\sqrt{15}

となり,これらは0≦x≦5を満たす。

(答え) (5\pm\sqrt{15})秒後

ひとこと

答えにルートが含まれる数字が出てきて「えっ?」と思うかもしれませんが,こんな答えもあるのです。どんな数が出ても丁寧に計算して,答えの数字の変さにビビらないようにしましょう。







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