中学 数学

2次方程式(1つの解が分かっているとき)

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例題

2次方程式 x2-2x+a=0 の解のひとつが x=1+\sqrt{3} のとき,以下の(1),(2)に答えなさい。

(1)aの値を求めなさい。
(2)この2次方程式のもうひとつの解を求めなさい。

解説・解法

通常,重解(因数分解の解き方(4)参照)にならない限りは2次方程式は2つ解を持ちます。解の1つが分かっていれば,それを代入さえすれば上の式はaについての方程式になります。ただ,解にルートが含まれているので,代入するのがやや面倒くさいという感じですね。まぁ,計算した者勝ちなので,代入してしまいましょう。平方根の展開(乗法公式)を使いますので,忘れた人は「平方根の乗法公式」の(3)でチェックしておきましょう。

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(1)2次方程式に解の1つ,x=1+\sqrt{3}を代入すると,

(1+\sqrt{3})^{2}-2(1+\sqrt{3})+a=0
1^{2}+2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}-2-2\sqrt{3}+a=0
1+3-2+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+a=0
2+a=0
a=-2

という風にあっさりルートが消えてくれたので,aがきれいな数字になりました。

(2)2次方程式にaの数値を代入すると,  x2-2x-2=0 になります。これを解けば良いのですが,この左辺が因数分解できそうにありませんので,解の公式を使って解いていくことにしましょう。

x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4 \times 1 \times (-2)}}{2}
x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}
x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}
x=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}
x=1\pm\sqrt{3}

となります。片方の解がx=1+\sqrt{3}なので,もう一方の解はx=1-\sqrt{3}となります。

答案

(1) x2-2x+a=0 にx=1+\sqrt{3}を代入して,

(1+\sqrt{3})^{2}-2(1+\sqrt{3})+a=0
1^{2}+2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}-2-2\sqrt{3}+a=0
1+3-2+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+a=0
2+a=0
a=-2

(答え)a=-2

(2) x2-2x-2=0を解くと

x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4 \times 1 \times (-2)}}{2}
x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}
x=1\pm\sqrt{3}

となるので,もう一方の解は,x=1-\sqrt{3}

(答え)x=1-\sqrt{3}







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