中学 数学

連立方程式(分数)の解き方

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例題

次の連立方程式を解きなさい。

(1)

\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y=-3・・・①
x-y=8・・・②

(2)

2x+y=3・・・①
x-3y=2・・・②

解説・解法

(1)問題に分数が含まれてきて,分数が苦手な方にとっては本当に残念な問題になってしまいましたが,「残念だ・・」と思いながら解いていきましょう。①の左辺について,xの係数の分母が2,yの係数の分母が3なので,2と3の最小公倍数の6を両辺にかけてあげれば整数になります。

①の両辺に6をかけて,

\frac{1}{2}x \times 6+\frac{2}{3}y \times 6=-3 \times 6・・・①
3x+4y=-18・・・③

これと,②とで式をつくって,加減法で解けば良いので,

  3x+4y=-18 ・・・③
+)4x-4y= 32 ・・・②×4

これらを足して

7x=14
x=2

これを③に代入して

3×2+4y=-18
6+4y=-18
4y=-24
y=-6

となって,①の式を「分数でなくしてしまうことさえできれば」解にたどり着くことができます。

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(2)あれ?これって普通に連立方程式解けばいいんじゃね?と思って解いてみてください。解けます。多分。①×3-②でうまくいくのではないかと思います。

 6x+3y=9・・・①×3
+)x-3y=2・・・②

これらを足して

7x=11
x=\frac{11}{7}

というわけで,解が分数になってしまいました。少し嫌な予感がしますが,実際定期テストでは特に,解が分数になる問題を数個用意しています(みんな分数が苦手なことを見越してのことか・・・)。

続き。同じように②に代入して,yの値を求めます。

\frac{11}{7}-3y=2
-3y=2-\frac{11}{7}
-3y=\frac{14}{7}-\frac{11}{7}
-3y=\frac{3}{7}
y=-\frac{1}{7}

この問題ように,テストで出て,連立方程式を解いて,解が分数になったときは一旦それはそれで答えとしておいて,問題を全部解いたあとに実際に代入してみて,ちゃんと式が成り立っているか確認(検算)するのが効率的かな,と思います。

答案

(1)

3x+4y=-18 ・・・①×6
4x-4y= 32 ・・・②×4

それぞれ足して 7x=14,x=2  これを②に代入して 2-y=8,y=-6

(答え)x=2,y=-6

(2)

6x+3y=9・・・①×3
x-3y=2・・・②

それぞれ足して,7x=11,x=\frac{11}{7},これを②に代入して\frac{11}{7}-3y=23y=-\frac{3}{7}y=-\frac{1}{7}

(答え)x=\frac{11}{7}y=-\frac{1}{7}

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