中学 数学

2次関数(中学)の2点を通る直線の式(公式)

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例題

(1)関数y=ax2のグラフ上に,x座標がbの点Bとx座標の点Cをそれぞれとる。このとき,直線BCの式は

y=a(b+c)x-abc

と表されることを証明しなさい。

(2)y=3x2のグラフ上に,x座標が-2である点Pとx座標が1である点Qをとる。(1)を用いて直線PQの式を求めなさい。

解説・解法

(1)2点を通る直線の式の問題を実際に解いた後で,楽に計算する公式を出してみます。変化の割合の公式同様,これもあまり学校では教えてくれない公式ではありますが(どういうわけか塾はこれが好き),これも知っていればもの凄い楽ができるので是非押さえておきたいところです。(2)で実感してみてください,慣れれば暗算できますので。

では直線の式を求めていきましょうか。まず点B,点Cのy座標を求める必要がありますので,y=ax2のxにx=b,x=cをそれぞれ代入します。

x=bのとき,y=ab2
x=cのとき,y=ac2

とすれば,B(b,ab2)とC(c,ac2)の2点を通る直線の式の問題に落としこむことができますので,求める直線の式をy=mx+nとおけば,そこに点B,点Cの座標をそれぞれ代入して

ab2=mb+n・・・①
ac2=mc+n・・・②

上の式から下の式を引いて

ab2-ac2=m(b-c)
a(b2-c2)=m(b-c)
a(b+c)(b-c)=m(b-c)・・・③

③について,Bのx座標b≠Cのx座標cより,b≠c,したがってb-c≠0より両辺b-cで割れるから(両辺0で割ることはできませんので必ず式を何かで割る前に,0ではないことをチェックしてください。0で割れない理由は高校数学の範囲で習いますが,電卓で「÷」「0」と押すとエラーになるのを思い出して下さい)

m=a(b+c)・・・④

④を①に代入して

ab2=ab(b+c)+n
ab2=ab2+abc+n
n=-abc

したがって,点B,点Cを通る直線の式はy=a(b+c)x-abcとなる。

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(2)先ほどの(1)で求めた式を単に代入するだけですね。y=a(b+c)x-abcにa=3,b=-2,c=1を代入して

y=3(-2+1)x-3×(-2)×1
y=-3x+6

という風にあっさり出てきます。

答案

(1)直線BCの式をy=mx+nとおくと,

ab2=mb+n・・・①
ac2=mc+n・・・②

①-②より,

ab2-ac2=m(b-c)
a(b2-c2)=m(b-c)
a(b+c)(b-c)=m(b-c)・・・③

b≠cよりb-c≠0だから,③の両辺をb-cで割って

m=a(b+c)・・・④

④を①に代入して

ab2=ab(b+c)+n
ab2=ab2+abc+n
n=-abc・・・⑤

y=mx+nに④,⑤を代入して y=a(b+c)x-abc

(2)(1)の式にa=3,b=-2,c=1を代入すると

y=3(-2+1)x-3×(-2)×1
y=-3x+6

(答え)y=-3x+6







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