中学 数学

ルートの中が自然数の2乗になるn(分数編)

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例題

nを自然数とする。\frac{\sqrt{450n}}{2}が自然数となるようなnのうち,以下の(1),(2)を求めなさい。

(1)最も小さなnの値とそのときの\frac{\sqrt{450n}}{2}の値
(2)2番めに小さなnの値とそのときの\frac{\sqrt{450n}}{2}の値

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解説・解法

基本的な解き方は,「ルートの中が自然数になるようなnを求める」で示した方法と同じです。まず\frac{\sqrt{450}}{2}の分子のルート内を素因数分解することから始めましょう。

450=2×225=2×152なので,

\frac{\sqrt{450n}}{2}
=\frac{15\sqrt{2n}}{2}
=\frac{15\sqrt{2}\times\sqrt{n}}{2}

これが自然数となるためには,

n=2×m2(ただし,mは自然数)

となれば分子は2×(自然数)となり,分母の2と約分されるので,\frac{\sqrt{450n}}{2}は自然数となります。

(1)最小のnは,m=1のときを考えれば良いので,

n=2×12=2

となり,このとき

\frac{\sqrt{450n}}{2}=\frac{\sqrt{900}}{2}=\frac{30}{2}=15

(2)2番目に小さなnは,m=2のときを考えれば良いので,

n=2×22=8

となり,このとき

\frac{\sqrt{450\times 8}}{2}=\frac{\sqrt{3600}}{2}=\frac{60}{2}=30

となります。

答案

\frac{\sqrt{450n}}{2}=\frac{15\sqrt{2}\times\sqrt{n}}{2}より,これが自然数になるとき,n=2×m2(mは自然数)

(1)最小のnは,m=1のとき,n=2×12=2で,このとき

\frac{\sqrt{450n}}{2}=\frac{\sqrt{900}}{2}=\frac{30}{2}=15

(答え)n=2,\frac{\sqrt{450n}}{2}=15

(2)2番目に小さなnは,m=2のとき,n=2×22=8で,このとき

\frac{\sqrt{450\times 8}}{2}=\frac{\sqrt{3600}}{2}=\frac{60}{2}=30

(答え)n=8,\frac{\sqrt{450n}}{2}=30







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