中学 数学

1次関数のグラフと三角形の面積

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例題

図の赤色の直線は y=-2x+2・・・①,青色の直線は y=x+5・・・② を表している。直線①とx軸との交点をP,直線②とx軸との交点をQとし,①,②2本の直線の交点をAとするとき,以下の(1),(2)に答えなさい。

(1)点Aの座標を求めなさい。
(2)△APQの面積を求めなさい。

1jikansuu_sankaku

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テスト頻出問題です

定期テストでもかなりの頻度で出て,さらに入試問題でも高頻度で出題される「関数のグラフと面積」の問題です。このパターンが基本形になりますので,理解して得点に結びつけましょう。

解説・解法

(1)の解き方ですが,2本の直線の交点の求め方は「方程式を作って解くだけ」でしたよね。①と②の「y=」以降をイコールで結びましょう。

-2x+2=x+5
-3x=3
x=-1

となるので,x座標が-1と分かりました。これを①,②どちらかの式に代入しましょう。今回は①に代入して

y=-2×(-1)+2
y=4

というわけで,Aの座標は(-1,4)になります。【答案】では②に代入しましたので参考まで。

(2)P,Qの座標も分かっていた方が良いでしょう。「x軸との交点の求め方」でも説明しましたが,「x軸」ときたら「y=0」です。直線①とx軸との交点Pの座標は,y=-2x+2とy=0より

-2x+2=0
-2x=-2
x=1

y=0より,点Pの座標は(1,0)ですね。同様に,直線②とx軸との交点は,y=x+5とy=0との交点より,

x+5=0
x=-5

同じようにy=0なので,点Qの座標は(-5,0)となります。あえて例題には方眼を示さなかったのですが(定期テストも方眼が無いパターンが結構多いです)座標の位置などを書き込んでみましょう。

1jikansuu_sankaku_hougan

線分PQを底辺として見てみると,底辺の長さは(Qから原点までの長さ)+(原点からPまでの長さ)=5+1=6。また,PQはx軸上にあるので,底辺PQから見た頂点Aのy座標が高さとなります。点Aのy座標は4なので,高さは4になります。

したがって,面積は

△APQ=6×4×\frac{1}{2}=12

となります。単位については,「座標の1目盛りを1cmとする」などの断り書きがない限り,書かなくてもOKです(指定されていた場合書かないと減点になりますが)。

答案

(1)①と②の交点のx座標は

-2x+2=x+5
-3x=3
x=-1

これを②に代入して,交点のy座標は

y=-1+5
y=4

したがって,交点Aの座標は(-1,4)

(答え) A(-1,4)

(2)点Pのx座標は

-2x+2=0
x=1

したがって,P(1,0)。また,点Qの座標は

x+5=0
x=-5

Q(-5,0)より,底辺PQの長さは6。高さはAのy座標に等しいから高さは4。したがって,

△APQ=6×4×\frac{1}{2}=12

(答え)△APQ=12







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