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連立方程式の文章題(一の位と十の位・応用編)

公開日: : 中学, 数学

例題

2桁の自然数があり,この自然数の十の位を3倍した数と一の位の数の和は20である。また,この自然数の十の位と一の位を入れ替えてできる数は,もとの数の2倍よりも12小さい。このとき,もとの自然数を求めなさい。

解説・解法

文字式による説明の中で出てきた「十の位と一の位の数」を使った解き方をすれば良いのかな,と思った方,正解です。過去にも連立方程式の十の位と一の位の問題は解説しましたが,今回はその応用編です。「日本語を読解する力(国語力)」も多少使います。

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さて,過去に挙げた例題どおり,十の位をx,一の位をyとして考えていきましょう。問題文中の「この自然数の十の位を3倍した数と一の位の数の和は20である」という記述より,

3x+y=20・・・①

という式を作ることができますね。「この自然数の十の位と一の位を入れ替えてできる数は,もとの数の2倍よりも12小さい」という記述から少し考えてみましょう。もとの数の十の位がx,一の位がyなので,

(もとの自然数)=10x+y
(入れ替えた数)=10y+x

ここから,太字で示したことを言葉の式に直し,そこから文字の式に直してみましょう。

(入れ替えた数)=(もとの数)×2-12
10y+x=(10x+y)×2-12・・・②
10y+x=20x+2y-12
-19x+8y=-12・・・②’

やっと連立方程式の加減法の問題として解くことができますね。①×8-②’を計算します。

24x+8y-(-19x+8y)=20×8+12
43x=172
x=4

これを①に代入して

3×4+y=20
12+y=20
y=8

したがって,求める2桁の自然数は48になります。

答案

もとの数の,十の位をx,一の位をyとすると,

3x+y=20・・・①
10y+x=(10x+y)×2-12・・・②

②を整理して,

10y+x=20x+2y-12
-19x+8y=-12・・・②’

①×8-②より,

24x+8y-(-19x+8y)=20×8+12
43x=172
x=4

これを①に代入して

3×4+y=20
y=8

(答え)48

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