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相似な図形(三角形の相似条件・相似比)

公開日: : 中学, 数学

例題

以下の(1),(2)に答えなさい。

(1)以下の①~③の図の中で,相似な三角形の組を見つけ,∽の記号を用いて書きなさい。
(2)②,③について,(1)で答えた三角形の相似比を答えなさい。

souji_1souji_2souji_3

相似な図形とは?

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もとの図形を,形はそのままに拡大・縮小した図形を相似な図形と言います。相似な図形では,次のことが言えます。

  • 対応する辺の比は等しい。
  • 対応する角は等しい。

また,2組の図形を何対何の比率で拡大・縮小したかの比のことを相似比といいます。

三角形の相似条件

中学3年では,主に三角形の相似について学習します。2組の三角形があるとして,以下に挙げる3つの条件のうち,どれか1つが当てはまれば,その2組の三角形は相似といえます。△ABCと△DEFが相似の場合,△ABC∽△DEFと表します。三角形の相似条件は以下の3つがあります。

  • 3組の辺の比が等しい
  • 2組の辺の比と,その間の角がそれぞれ等しい
  • 2組の角がそれぞれ等しい

この相似条件を使って,問題を解いていきましょう。

解説・解法

souji_1

①l//mなので,平行線の錯角が使えそうですね。これを使うと,∠OAB=∠ODC,∠OBA=∠OCDとなり,2組の角がそれぞれ等しいということで相似だということが言えます。あとは,相似な三角形を答えれば良いのですが,先に示した「対応する角」の順に書いていけば間違いないです。

△OAB∽△ODC と書いても良いですし,
△OBA∽△OCD と書いても問題ありません。他にも順番はいろいろあります。

souji_2

②それぞれの辺の比について,

  • AB=4,DE=8 ←AB:DE=4:8=1:2
  • BC=5,EF=10 ←BC:EF=5:10=1:2
  • AC=5.5,DF=11 ←AC:DF=5.5:11=1:2

ということで,3組の辺の比はすべて1:2となったので,3組の辺の比が等しいということになります。この辺の比が相似比なので,相似比は1:2となります。

souji_3

③辺の長さが3つしか示されていないので,とりあえず分かるところから出していきましょう。

  • AB:AD=3:2

少し気づきにくいかもしれませんが,AC=AD+CD=2+2.5=4.5ですので,

  • AC:AB=4.5:3=9:6=3:2

つまり,AB:AD=AC:AB=3:2で,2組の辺の比が等しいということが分かります。ただ,それ以外の辺の長さは分かりませんので,角が等しいところがないか調べていくと・・・∠Aが共通角なので,同じになりますね。相似な三角形の組ですが,分かりにくいうちはなぞっていけばいいと思います。

  • BA(3:2の3の方)→A(共通角)→AD(3:2の2の方)と
  • CA(3:2の3の方)→A(共通角)→AB(3:2の2の方)で

△BAD∽△CABとなります。△BADと△CABの相似比は,対応する辺の比で決まりますので,BA:CA=3;4.5=2:3です。

答案(答えのみ)

(1)

①△OAB∽△ODC,△OBA∽△OCD,△BAO∽△DCOなど
②△ABC∽△DEF,△ABC∽△DFE,△CAB∽△FEDなど
③△BAD∽△CAB,△DAB∽△BAC,△ABD∽△ACBなど

(2)

②(△ABCと△DEFの相似比)=1:2,(△DFEと△ABCの相似比)=2:1など
③(△BADと△CABの相似比)=2:3,(△BACと△DABの相似比)=3:2など

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