中学 数学

連立方程式文章題(池の周りを歩く)

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例題

1周700mの池の周りをAさんとBさんが同じ地点から同時に出発して,それぞれ反対方向に歩くと5分後にはじめてAさんとBさんが出会った。また,それぞれ同じ方向で歩くと,35分後にAさんがBさんをちょうど池の長さ1周分追い越した。

このとき,AさんとBさんの歩く速さは毎分何mか,それぞれ求めなさい。

解説・解法

「池の周りを歩く文章題」は結構よく嫌われて,なおかつ定期テストによく出るタイプの問題ですが,コツさえつかんで何問か練習すれば解けると思います。

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まずは「求めるものをx,yとおく」ことから。Aさんは毎分xm,Bさんは毎分ymで歩くとしましょう。そこから,「5分後にはじめてAさんとBさんが出会った」ので,

(Aさんが5分歩いた道のり)+(Bさんが5分歩いた道のり)=(池1周分の道のり)

(道のり)=(速さ)×(時間)で求められますので,Aさん・Bさんがそれぞれ5分歩いたとき

(Aさんが5分歩いた道のり)=(Aさんの分速)×(かかった時間)=x×5=5x
(Bさんが5分歩いた道のり)=(Bさんの分速)×(かかった時間)=y×5=5y

池の1周の長さは700mだったので

5x+5y=700・・・①

という式が作れます。さらに,「同じ方向で歩くと,35分後にAさんがBさんをちょうど池の長さ1周分追い越した」から何を読み取るか,ですが,「ちょうど池の長さ1周分追い越した」を読み替えると「700m追い越した」と読み替えることができますね。さらに,「AさんがBさんを追い越した」ということはAさんの方が歩く速度は速いということです。ちょっと図式化して考えてみると池を歩いて35分後,

Aさん →→→→→→→→→→→
Bさん →→→→|この間700m|

という感じで,「差が700m」つまり,

(Aさんが35分歩いた道のり)+(Bさんが35分歩いた道のり)=(池1周分の道のり)
35x-35y=700・・・②

この式が作れます。あとは作った①,②の式で連立方程式を作れば良いです。計算を簡単にするために,「①の両辺を5で割った式」と「②の両辺を35で割った式」を作りましょう。

x+y=140・・・①'
x-y=20・・・②'

①'+②'より,2x=160,x=80となり,これを①'にもう一度代入すると,80+y=140,y=60 となって,答えが求められます。

答案

Aさんが毎分xm,Bさんが毎分ymの速さで歩くとすると,

5x+5y=700・・・①
35x-35y=700・・・②

①÷5,②÷35より

x+y=140・・・①'
x-y=20・・・②'

①'+②'より

2x=160
x=80

これを①に代入して

80+y=140
y=60

(答え)Aさんの歩く速さ:分速80m(80m/分),Bさんの歩く速さ:分速60m(60m/分)

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