*

2次方程式の解の公式の証明(発展)

公開日: : 中学, 数学

例題

a,b,cを定数とするとき,2次方程式 ax2+bx+c=0 の解はx=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}となることを証明しなさい。

解法・解説

2次方程式の解の公式を証明するという問題です。中学3年の教科書でも「発展」で取り上げられており,公立高校入試のレベルだとなかなか目にすることはないのですが,「なんでそうなるのか分からないと覚えきれない」と生徒に言われ,ふと「公式は証明してから使え」という言葉が頭をよぎったので,証明書いておきます。

数字だけの式ならまだしも,文字も混ざってごちゃごちゃになっていますので,解いてみる方はじっくり時間を掛けて解いてみることをおすすめします。

スポンサードリンク

まずは平方完成の形に持って行きましょう。(x+△)2=□の形です。x2の係数aが邪魔なので,両辺aで割ります。aで割るときはa=0ではないことを断る必要がありますが,今回は「2次方程式」なので,a=0だとx2の項が消えて1次方程式ではなくなりますので,a=0ではありません。したがって両辺をaで割って

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

あとは「2次方程式の平方完成での解き方」の手順通りにやっていきましょう。定数項(xのないもの)を右辺に移項して

x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

xの係数 \frac{b}{a}半分の2乗を左右両辺に足してあげれば良かったですね。\frac{b}{a}の半分は, \frac{b}{2a} となり,その2乗は \frac{b^{2}}{4a^{2}} ですので,

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}

左辺を先にを平方完成してしまいましょう。

(x+\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}

右辺を通分しましょう。分母は4a2に揃えたいので,-\frac{c}{a}の分子分母に4aを掛けてあげます。ついでに右辺のプラス・マイナスの順番も左右逆転しておきます。

(x+\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{4ac}{4a^{2}}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}
(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

そして,両辺の平方根をとります。左辺の2乗を取る→右辺はプラスマイナスルートをつけます。分母の\sqrt{4a^{2}}=2aになりますからルートはすぐ外せますね。最後,移項すれば完成です。

x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}
x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

答案

ax2+bx+c=0 は2次方程式なのでa≠0,両辺をaで割って

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{a^{2}}{4a^{2}}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}
(x+\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}
(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

両辺の平方根をとって

x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

したがって,2次方程式 ax2+bx+c=0 の解はx=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}となる。(証明おわり)

関連記事

2次方程式の解の公式を使った解き方

例題 以下の2次方程式を解きなさい。 (1)x2+4x+1=0 (2)2x2-3x-3=0

記事を読む

sin75°の値を求める 三角関数の加法定理(数2)

例題 三角関数の加法定理を利用すると sin75°=\frac{\sqrt{\fbox{A}}+

記事を読む

1次関数の変域の求め方

例題 1次関数 y=2x-3において,xの変域を-1≦x≦4とするとき,yの変域を求めなさい。

記事を読む

文字式による説明(3の倍数の見分け方の証明)

例題 3けたの自然数Aがあり,その百の位,十の位,一の位の和が3の倍数ならば,Aは3の倍数である。

記事を読む

「十の位が等しく一の位の和が10」(十等一和)の数の計算

例題 次の(1)~(4)の計算をしなさい。 (1)63×67 (2)48×42 (3)74×

記事を読む

相似な図形(三角形の相似条件・相似比)

例題 以下の(1),(2)に答えなさい。 (1)以下の①~③の図の中で,相似な三角形の組を見

記事を読む

1次関数(グラフから直線の式を求める)

例題 下の図で,(1)青色で表される直線と,(2)赤色で表される直線の式を求めなさい。

記事を読む

call A B 「AをBと呼ぶ」

例文 (1)People call him Mike.(人々は彼をマイクと呼びます) (

記事を読む

連立方程式文章題(一の位と十の位)

例題 2けたの自然数があり,その十の位の数と一の位の数の和は12です。また,この自然数の十の位と一

記事を読む

石炭の産出国上位ランキングと化石燃料

石炭も貴重な鉱産資源 鉱産資源のなかで,石油と並んでエネルギー源になるのが石炭です。石炭と言えば昔

記事を読む

Message

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA


2017センター試験英語解説 第2問A(後半)【フェスでウェイ】

2017年のセンター試験英語、問2Aパートの解説です。前半の問1~問5

2017センター試験英語解説 第2問A(前半)

2017年のセンター試験英語、第2問の解説を。第2問のAパートは文法語

2017センター試験(本試)英語 超ざっくり解説

2017年のセンター試験、問題が出ました。ので、英語の解説を「超ざっく

2017年版 センター試験英語直前&本番アドバイス

センター試験(英語筆記)本番で焦らないために、と、直前に何かできるなら

2016年センター試験 英語解説 第3問C 要約 問1

センター英語・第3問Cの傾向 第3問Cは会話要約問題です。2013年

→もっと見る

PAGE TOP ↑