中学 数学

2次方程式の解の公式の証明(発展)

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例題

a,b,cを定数とするとき,2次方程式 ax2+bx+c=0 の解はx=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}となることを証明しなさい。

解法・解説

2次方程式の解の公式を証明するという問題です。中学3年の教科書でも「発展」で取り上げられており,公立高校入試のレベルだとなかなか目にすることはないのですが,「なんでそうなるのか分からないと覚えきれない」と生徒に言われ,ふと「公式は証明してから使え」という言葉が頭をよぎったので,証明書いておきます。

数字だけの式ならまだしも,文字も混ざってごちゃごちゃになっていますので,解いてみる方はじっくり時間を掛けて解いてみることをおすすめします。

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まずは平方完成の形に持って行きましょう。(x+△)2=□の形です。x2の係数aが邪魔なので,両辺aで割ります。aで割るときはa=0ではないことを断る必要がありますが,今回は「2次方程式」なので,a=0だとx2の項が消えて1次方程式ではなくなりますので,a=0ではありません。したがって両辺をaで割って

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

あとは「2次方程式の平方完成での解き方」の手順通りにやっていきましょう。定数項(xのないもの)を右辺に移項して

x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

xの係数 \frac{b}{a}半分の2乗を左右両辺に足してあげれば良かったですね。\frac{b}{a}の半分は, \frac{b}{2a} となり,その2乗は \frac{b^{2}}{4a^{2}} ですので,

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}

左辺を先にを平方完成してしまいましょう。

(x+\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}

右辺を通分しましょう。分母は4a2に揃えたいので,-\frac{c}{a}の分子分母に4aを掛けてあげます。ついでに右辺のプラス・マイナスの順番も左右逆転しておきます。

(x+\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{4ac}{4a^{2}}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}
(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

そして,両辺の平方根をとります。左辺の2乗を取る→右辺はプラスマイナスルートをつけます。分母の\sqrt{4a^{2}}=2aになりますからルートはすぐ外せますね。最後,移項すれば完成です。

x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}
x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

答案

ax2+bx+c=0 は2次方程式なのでa≠0,両辺をaで割って

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{a^{2}}{4a^{2}}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}
(x+\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}
(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

両辺の平方根をとって

x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

したがって,2次方程式 ax2+bx+c=0 の解はx=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}となる。(証明おわり)







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