中学 数学

三角形の相似の証明(平行線の錯角)

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例題

下の図①で,l//mのとき,△OABと△ODCが相似であることを証明しなさい。

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三角形の相似条件

三角形の相似条件と相似比でも述べましたが,相似条件についておさらいしておきましょう。三角形の相似条件は

  • 3組の辺の比が等しい
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
  • 2組の角がそれぞれ等しい

のどれか1つでも当てはまれば,その三角形は相似になりました。ではどうすれば相似が証明できるのか,相似の証明の型から入りましょう。

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三角形の相似の証明の基本

2組の角が等しい三角形aと三角形bがあるとします。これを証明する場合の型のようなものを示しておきますと

(三角形a)と(三角形b)において

(角が等しい理由)より,(三角形aの1つの角)=(三角形bの1つの角)・・・①
(角が等しい理由)より,(三角形aの1つの角)=(三角形bの1つの角)・・・②

①,②より2組の角がそれぞれ等しいから,(三角形a)∽(三角形b)

こんな感じになります。合同の証明に慣れている人は大丈夫そうだとは思いますが・・。

解説・解法・答案

「照明の基本」で述べた型通りにやっていってみましょう。l//mより,「平行線の錯角は等しい」ことが使えますので(角が等しい理由)に「平行線の錯角」が挙げられますね。あとは,それに対応する角(∠OAB=∠ODC,∠OBA=∠OCD)を挙げていきましょう。

△OABと△ODCにおいて,l//mより平行線の錯角は等しいから

∠OAB=∠ODC・・・①
∠OBA=∠OCD・・・②

①,②より2組の角がそれぞれ等しいから,△OAB∽△ODC

(証明終わり)

別解

「平行線の錯角」だけでなく,「対頂角が等しい」ことも証明に使えます。対頂角は条件の1つ分なので,結局平行線の錯角をもうひとつの条件に挙げなければならないのですが・・。

△OABと△ODCにおいて,l//mより平行線の錯角は等しいから

∠OAB=∠ODC・・・①

また,対頂角は等しいから

∠AOB=∠DOC・・・②

①,②より2組の等しいから,△OAB∽△ODC

(証明終わり)

 







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