中学 数学

2次方程式文章題(ひもを切って正方形を作る)

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例題

長さ60cmのひもを切って2本にし,それぞれのひもを使って正方形を作ると,面積の和は113cm2になった。60cmのひもを何cmと何cmに分けたか,それぞれの長さを求めなさい。

解説・解法

まず方程式の解き方通り「求めるものをxとおく」ことから始めましょう。60cmのひもをxcmのところで切ると,もう片方は(60-x)cmとおけますね。ざっくりと図で表すと,下のようになります。

113

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黒線のひもを切って,赤線と青線で分けた場合,赤の正方形と青の正方形の面積を足したものが113cm2になるということです。さて,ここで,赤線の正方形の一辺の長さは何cmになるでしょう?正方形の1辺の長さはxを4等分,すなわちxを4で割ったものなので,\frac{x}{4}cmになります。青線の正方形は(60-x)を4で割ったものなので\frac{60-x}{4}cmとなります。

正方形の面積は1辺の長さを2乗すれば良いので,(赤線の正方形の面積)+(青線の正方形の面積)=113cm2

\frac{x^{2}}{16}+\frac{(60-x)^{2}}{16}=113

両辺それぞれ16倍して,計算していきます。

x2+(60-x)2=1808
x2+x2-120x+3600=1808
2x2-120x+1792=0
x2-60x+896=0  ・・・(☆)
(x-28)(x-32)=0
x=28,32

x>0,よりx=28,x=32のいずれも長さとして適しているのでx=28,32となります。

因数分解の小技

☆の部分

x2-60x+896=0

これを因数分解するところで苦戦した方も多いのではないでしょうか?「足して-60,かけて896になるものを探せ」というものですが,「かけて896になる」ものを探すのに一苦労。まず896を素因数分解してみましょう。

896=27×7

ここから,足して-60になるものを探せば良いので

  • 27と7の場合,それぞれ足すと128+7=135で×
  • 26と7×2の場合,それぞれ足すと64+14=80で×
  • 25と7×22の場合,それぞれ足すと32+28=60なので,足して-60になる組み合わせは-32と-28

こんな感じで探していくことができます。型にはまれば早いです(そもそも因数分解できない式の場合はドツボにはまるので仕切りなおして解の公式で解くしかないのですが・・・)

答案

ひもをxcmで切るとすると,残りの一方は(60-x)cmと表せるので,正方形の面積の和は

\frac{x^{2}}{16}+\frac{(60-x)^{2}}{16}=113
x2+(60-x)2=1808
2x2-120x+1792=0
x2-60x+896=0
(x-28)(x-32)=0
x=28,32

ひもの長さは60cmだから0<x<60,したがってx=28,32は解として適している。

(答え)28cmと32cm







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